3 Системи на линейни уравнения и как да ги решим

на линейни уравнения те са полиномни уравнения с една или няколко неизвестни. В този случай неизвестните не се издигат до власт, нито се умножават помежду си (в този случай се казва, че уравнението е от степен 1 ​​или от първа степен).

Едно уравнение е математическо равенство, където има един или повече от неизвестен елемент, който ще наричаме неизвестни или неизвестни в случай, че има повече от един. За да се реши това уравнение е необходимо да се открие стойността на неизвестните.

Линейното уравнение има следната структура:

за₀· 1 + a₁· X₁+ за₂· X₂+... + a_п· X_п= b

Къде?₀, за₁, за₂,..., a_п са реални числа, за които знаем тяхната стойност и се наричат ​​коефициенти, b е също известен реален номер, който се нарича независим термин. И накрая те са Х₁, X_2,..., X_п които са известни като неизвестни. Това са променливите, чиято стойност е неизвестна.

Система от линейни уравнения е набор от линейни уравнения, където стойността на неизвестните е една и съща във всяко уравнение.

Логично, начинът за решаване на система от линейни уравнения е задаването на стойности на неизвестните, така че да може да се провери равенството. Това означава, че неизвестните трябва да бъдат изчислени така, че всички уравнения на системата да бъдат изпълнени едновременно. Представяме система от линейни уравнения, както следва

за₀· 1 + a₁· X₁ + за₂· X₂ +... + a_п· X_п = a_{n + 1}

б₀· 1 + b₁· X₁ + б₂· X₂ +... + b_п· X_п = b_{n + 1}

в₀· 1 + c₁· X₁ + в₂· X₂ +... + c_п· X_п = c_{n + 1}

... .

г₀· 1 + d₁· X₁ + г₂· X₂ +... + d_п· X_п = d_{n + 1}

 където a_0, за₁,..., a_п,б₀,б₁,..., б_п ,в₀ ,в₁,..., c_п и т.н. ни реални числа и неизвестни за решаване са X₀,..., X_п ,X_{n + 1}.

Всяко линейно уравнение представлява линия и затова система от уравнения на N линейни уравнения представлява N направо в пространството.

В зависимост от броя на неизвестните, които има всяко линейно уравнение, линията, която представлява уравнението, ще бъде представена в различно измерение, т.е. уравнение с две неизвестни (например, 2 · X)₁ + X₂ = 0) представлява линия в двуизмерно пространство, уравнение с три неизвестни (например 2 · X₁ + X₂ - 5 · X₃ = 10) биха били представени в триизмерно пространство и т.н..

При решаване на система от уравнения, стойностите на X₀,..., X_п ,X_{n + 1} случайно са точките на изрязване между редовете.

Чрез решаване на система от уравнения можем да достигнем до различни изводи. В зависимост от вида на резултата, който получаваме, можем да разграничим 3 вида системи от линейни уравнения:

1- Неопределена съвместимост

Въпреки че може да звучи като шега, възможно е, когато се опитваме да решим системата от уравнения, ще достигнем до очевидност на стила 0 = 0.

Този тип ситуация се случва, когато има безкрайни решения за системата от уравнения и това се случва, когато се окаже, че в нашата система от уравнения уравненията представляват една и съща линия. Можем да го видим графично:

Като система от уравнения вземаме:

Като имаме 2 уравнения с 2 неизвестни за решаване можем да представим линиите в двумерна равнина

Тъй като можем да видим линиите с едно и също, следователно всички точки на първото уравнение съвпадат с тези на второто уравнение, затова има толкова точки на отрязване, колкото е точката, която линията има, т.е..

2 - Несъвместими

Когато четем името, можем да си представим, че следващата ни система от уравнения няма да има решение.

Ако се опитаме да решим, например, тази система от уравнения

Графично би било:

Ако умножим всичките термини на второто уравнение, ще получим, че X + Y = 1 е равно на 2 · X + 2 · Y = 2. И ако последният израз се извади от първото уравнение, ще получим

2 · X-2 · X + 2 · Y -2 · Y = 3-2

Или какво е същото

0 = 1

Когато сме в тази ситуация, това означава, че линиите, които са представени в системата от уравнения, са успоредни, което означава, че по дефиниция те никога не се режат и няма точка на срязване. Когато една система е представена по този начин, се казва, че е непоследователна независима.

3- Решителна подкрепа

Най-накрая стигаме до случая, в който нашата система от уравнения има едно решение, случаят, в който имаме линии, които се пресичат и генерират точка на пресичане. Нека видим пример:

За да го решим, можем да добавим двете уравнения, така че да получим

(3 · X-4 · Y) + (2 · X + 4 · Y) = -6 + 16

Ако опростим, оставаме

5 · X + 0 · Y = 5 · X = 10

От което лесно можем да заключим, че X = 2 и замествайки или X = 2 във всяко от оригиналните уравнения, получаваме Y = 3.

Визуално би било:

Методи за решаване на системи от линейни уравнения

Както видяхме в предишния раздел, за системи с 2 неизвестни и 2 уравнения, базирани на прости операции като събиране, изваждане, умножение, деление и заместване, можем да ги решим за няколко минути. Но ако се опитаме да приложим тази методология към системи с повече уравнения и повече неизвестни, изчисленията стават досадни и лесно можем да грешим.

За опростяване на изчисленията има няколко метода за разрешаване, но безспорно най-разпространените методи са правилото на Крамер и елиминирането на Гаус-Йордан..

Cramer метод

За да се обясни как се прилага този метод е от съществено значение да се знае каква е неговата матрица и да се знае как да се намери нейният детерминант, нека направим скоби, за да дефинираме тези две понятия..

а матрица тя не е нищо повече от набор от числа или алгебрични символи, поставени в хоризонтални и вертикални линии и подредени във формата на правоъгълник. За нашата тема ще използваме матрицата като по-опростен начин за изразяване на нашата система от уравнения.

Нека видим пример:

Това ще бъде системата от линейни уравнения

Тази проста система от уравнения, която можем да обобщим, е операцията на две 2 × 2 матрици, които водят до 2 × 1 матрица..

Първата матрица съответства на всички коефициенти, втората матрица е неизвестната за решаване и матрицата, разположена след равенството, се идентифицира с независимите членове на уравненията.

на определящ е операция, която се прилага към матрица, чийто резултат е реално число.

В случая с матрицата, която сме намерили в предишния пример, нейната детерминанта ще бъде:

След като се дефинират понятията матрица и детерминанта, можем да обясним от какво се състои методът на Крамер.

С този метод лесно можем да решим една система от линейни уравнения, стига системата да не превишава трите уравнения с три неизвестни, тъй като изчисляването на детерминантите на матрицата е много трудно за матрици от 4 × 4 или по-високи. В случай, че има система с повече от три линейни уравнения, се препоръчва методът за елиминиране на Гаус-Йордан.

Продължавайки с предишния пример, с помощта на Cramer просто трябва да изчислим две детерминанти и с него ще намерим стойността на нашите две неизвестни..

Ние имаме нашата система:

И имаме система, представена от матрици:

Намира се стойността на X:

Просто в изчисляването на детерминанта, разположен в знаменателя на делението, сме заменили първата комуна с матрицата на независимите термини. И в знаменателя на разделението имаме детерминанта на нашата първоначална матрица.

Извършвайки същите изчисления, за да намерим Y, получаваме:

Премахване на Гаус-Йордан

Ние дефинираме разширена матрица към матрицата, която произтича от система от уравнения, където добавяме независимите термини в края на матрицата.

Методът чрез елиминиране на Гаус-Йордан се състои, чрез операции между редовете на матрицата, да трансформира нашата разширена матрица в много по-проста матрица, където имам нули във всички полета с изключение на диагонала, където трябва да получа някои. Както следва:

Където X и Y ще бъдат реални числа, които отговарят на нашите неизвестни.

Да решим тази система, като премахнем Гаус-Йордан:

Вече успяхме да получим нула в долната лява част на нашата матрица, следващата стъпка е да получим 0 в горната дясна част на нея.

Постигнахме 0 в горния ляв ъгъл на матрицата, сега трябва само да преобразуваме диагонал в такива и вече сме решили нашата система от Гаус-Йордания..

Затова стигаме до заключението, че:

препратки

1. vitutor.com.
2. algebra.us.es.
3. Системи от линейни уравнения (без дата). Възстановен от uco.es.
4. Системи на линейни уравнения. Глава 7. (без датиране). Изтеглено от sauce.pntic.mec.es.
5. Линейна алгебра и геометрия (2010/2011). Системи на линейни уравнения. Глава 1. Отдел Алгебра. Университет в Севиля. Испания. Възстановен от algebra.us.es.