Как да изчислим страни и ъгли на триъгълник?

Има различни начини изчисляване на страни и ъгли на триъгълник. Те зависят от типа триъгълник, с който работите.

При тази възможност ще покажем как да изчислим страни и ъгли на правоъгълен триъгълник, като приемем, че определени триъгълни данни са известни.

Елементите, които ще се използват, са:

- Питагоровата теорема

При правоъгълен триъгълник с крака "а", "б" и хипотенуза "в" е вярно, че "c² = a² + b²".

- Площ на триъгълник

Формулата за изчисляване на площта на всеки триъгълник е A = (b × h) / 2, където "b" е дължината на основата и "h" дължината на височината.

- Ъгли на триъгълник

Сумата от трите вътрешни ъгъла на триъгълника е 180º.

- Тригонометричните функции:

Помислете за правоъгълен триъгълник. Тогава, синус, косинус и тангенциални тригонометрични функции на ъгъла на бета (β) са определени както следва:

sin (β) = CO / хип, cos (β) = CA / хип и тен (β) = CO / CA.

Как да изчислим страни и ъгли на правоъгълен триъгълник?

При правоъгълен триъгълник ABC могат да възникнат следните ситуации:

1- Двете крака са известни

Ако катетусът "а" е с размери 3 см и катетусът "б" е с 4 см, тогава за изчисляване на стойността на "с" се използва питагоровата теорема. При замяна на стойностите на "а" и "б" се получава, че c² = 25 cm², което означава, че c = 5 cm.

Сега, ако ъгълът β е противоположен на катетус "b", тогава sin (β) = 4/5. При прилагане на обратната синусова функция в това последно равенство получаваме, че β = 53.13º. Вече са известни два вътрешни ъгъла на триъгълника.

Нека θ е ъгълът, който остава да бъде известен, след това 90º + 53,13º + θ = 180º, от което получаваме, че θ = 36,87º.

В този случай не е необходимо известните страни да са двата крака, важното е да се знае стойността на всяка от двете страни.

2 - Катетус и районът са известни

Нека a = 3 cm известния крак и A = 9 cm² площта на триъгълника.

В правоъгълен триъгълник единият крак може да се разглежда като основа, а другият като височина (тъй като те са перпендикулярни).

Да предположим, че "а" е основата, следователно 9 = (3 × h) / 2, от която се получава, че другият катеус е с размери 6 cm. За да изчислим хипотенузата, ще продължим както в предишния случай и ще получим, че c = √45 cm.

Сега, ако ъгълът β е противоположен на крака "а", тогава sin (β) = 3 / .45. При изчистване на β получаваме, че неговата стойност е 26.57º. Остава само да се знае стойността на третия ъгъл θ.

Удовлетворено е, че 90º + 26,57º + θ = 180º, от което се заключава, че θ = 63,43º.

3- Известни са ъгъл и крак

Нека β = 45 ° е известният ъгъл и a = 3 cm от известния крак, където кракът "а" е противоположен на ъгъла β. Използвайки формулата на допирателната, получаваме tg (45º) = 3 / CA, от което се оказва, че CA = 3 cm.

Използвайки Питагоровата теорема, получаваме, че c² = 18 cm², т.е. c = 3√2 cm.

Известно е, че ъгълът измерва 90º и че β измерва 45º, от което се прави заключението, че третият ъгъл измерва 45º.

В този случай, познатата страна не трябва да бъде крак, тя може да бъде всяка от трите страни на триъгълника.

препратки

1. Landaverde, F. d. (1997). геометрия (Reprint ed.). прогрес.
2. Leake, D. (2006). триъгълници (илюстриран ед.). Хайнеман-Рейнтрий.
3. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Образование в Пиърсън.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). геометрии. CR технология.
5. Съливан, М. (1997). precalculus. Образование в Пиърсън.
6. Съливан, М. (1997). Тригонометрия и аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.