Полиномни уравнения (с решени упражнения)

на полиномни уравнения са изявление, което повдига равенството на две изрази или членове, където поне един от термините, които съставят всяка страна на равенството, са полиноми P (x). Тези уравнения се наричат ​​според степента на техните променливи.

По принцип уравнението е твърдение, което установява равенството на две изрази, където в поне едно от тях има неизвестни величини, които се наричат ​​променливи или неизвестни. Въпреки че има много видове уравнения, те обикновено се класифицират в два типа: алгебрични и трансцендентни.

Полиномиалните уравнения съдържат само алгебрични изрази, които могат да имат едно или повече неизвестни, участващи в уравнението. Според показателя (степен) те могат да бъдат класифицирани в: първа степен (линейна), втора степен (квадратична), трета степен (кубична), четвърта степен (четвърт), по-голяма или равна на пет и ирационална.

индекс

• 1 Характеристики
• 2 вида
  • 2.1 Първи клас
  • 2.2 Втора степен
  • 2.3 Разделител
  • 2.4 По-висок клас
• 3 Упражнения са решени
  • 3.1 Първо упражнение
  • 3.2 Второ упражнение
• 4 Препратки

функции

Полиномиалните уравнения са изрази, които се формират от равенство между два полинома; т.е. от крайните суми на умножения между стойности, които са неизвестни (променливи) и фиксирани числа (коефициенти), където променливите могат да имат експоненти, а тяхната стойност може да бъде положително цяло число, включително нула.

Експонентите определят степента или вида на уравнението. Този термин на израза, който има най-високата стойност на показателя, ще представлява абсолютната степен на полинома.

Полиномиалните уравнения са известни също като алгебрични уравнения, техните коефициенти могат да бъдат реални или комплексни числа, а променливите са неизвестни числа, представени с буква, като например: "x".

Ако замествайки стойност за променливата "x" в P (x), резултатът е равен на нула (0), тогава се казва, че тази стойност удовлетворява уравнението (това е решение) и обикновено се нарича корен на полинома.

Когато се разработи полиномно уравнение, искате да намерите всички корени или решения.

тип

Съществуват няколко типа полиномни уравнения, които се диференцират според броя на променливите, а също и според степента им на експоненция..

По този начин, полиномни уравнения - където първият член е полином само с едно неизвестно, като се има предвид, че неговата степен може да бъде всяко естествено число (n) и вторият член е нула, може да се изрази, както следва:

за_{n *} х^п + за_{n-1 *} х^N-1 +... + a_{1 *} х¹ + за_{0 *} х₀ = 0

когато:

- за_п, за_N-1 и a₀, те са реални коефициенти (числа).

- за_п тя е различна от нула.

- Показателят n е положително цяло число, което представлява степента на уравнението.

- x е променливата или неизвестната, която трябва да се търси.

Абсолютната или по-голяма степен на полиномиално уравнение е този показател с по-голяма стойност сред всички, които формират полинома; по този начин уравненията се класифицират като:

Първи клас

Полиномиалните уравнения от първа степен, известни също като линейни уравнения, са тези, в които степента (най-голямата степен) е равна на 1, полиномът е от вида P (x) = 0; и се състои от линеен термин и независим термин. Писа се по следния начин:

ax + b = 0.

когато:

- a и b са реални числа и a. 0.

- ax е линейният термин.

- b е независим термин.

Например уравнението 13x - 18 = 4x.

За да се решат линейните уравнения, всички термини, които съдържат неизвестното x, трябва да бъдат прехвърлени на едната страна на равенството, а тези, които не са, се преместват на другата страна, за да я изчистят и да получат решение:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

х = 18. 9

x = 2.

По този начин даденото уравнение има едно решение или корен, което е x = 2.

Втори клас

Полиномиалните уравнения от втора степен, известни също като квадратични уравнения, са тези, в които степента (най-големият показател) е равна на 2, полиномът е от вида P (x) = 0 и е съставен от квадратичен член , един линеен и един независим. Тя се изразява, както следва:

брадва² + bx + c = 0.

когато:

- a, b и c са реални числа и a. 0.

- брадва² е квадратичен термин, а "а" е коефициентът на квадратичния термин.

- bx е линейният член, а "b" е коефициентът на линейния член.

- c е независим термин.

resolvente

Като цяло, решението на този тип уравнения се дава чрез изчистване на x от уравнението и то остава както следва, което се нарича резолвер:

Там, б² - 4ac) се нарича дискриминант на уравнението и този израз определя броя на решенията, които уравнението може да има:

- Да (b² - 4ac) = 0, уравнението ще има едно решение, което е двойно; това означава, че ще имате две еднакви решения.

- Да (b² - 4ac)> 0, уравнението ще има две различни реални решения.

- Да (b² - 4ав) < 0, la ecuación no tiene solución (tendrá dos soluciones complejas distintas).

Например, имате уравнението 4x² + 10x - 6 = 0, за да го разрешим, първо определете термините а, b и c и след това го заменете с формулата:

a = 4

b = 10

с = -6.

Има случаи, в които полиномиалните уравнения от втора степен нямат трите термина и затова се решават по различен начин:

- В случай, че квадратичните уравнения нямат линейния член (т.е. b = 0), уравнението ще се изрази като ax² + c = 0. За да го разреши, той се изчиства x² и квадратните корени се прилагат във всеки член, като се помни, че се разглеждат двата възможни признака, че неизвестното може да има:

брадва² + c = 0.

х² = - c. a

Например 5 x² - 20 = 0.

5 x² = 20

х² = 20. 5

х = ± .4

х = ± 2

х₁ = 2.

х₂ = -2.

- Когато квадратичното уравнение няма независим термин (т.е. c = 0), уравнението ще бъде изразено като ax² + bx = 0. За да го разрешим, трябва да извлечем общия фактор на неизвестното x в първия член; тъй като уравнението е равно на нула, вярно е, че поне един от факторите ще бъде равен на 0:

брадва² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

По този начин трябва да:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Например: имате уравнението 5x² + 30x = 0. Първи фактор:

5х² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Генерират се два фактора, които са x и (5x + 30). Счита се, че един от тях ще бъде равен на нула, а другото решение ще бъде дадено:

х₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

х = -30 ° 5

х₂ = -6.

Голяма степен

Полиномиалните уравнения с по-голяма степен са тези, които преминават от трета степен нататък, които могат да бъдат изразени или разрешени с общото полиномно уравнение за всяка степен:

за_{n *} х^п + за_{n-1 *} х^N-1 +... + a_{1 *} х¹ + за_{0 *} х₀ = 0

Това се използва, защото уравнение със степен по-голяма от две е резултат от факторизацията на полином; т.е. изразява се като умножение на полиноми от степен едно или по-голямо, но без действителни корени.

Решението на този тип уравнения е директно, защото умножението на два фактора ще бъде равно на нула, ако някой от факторите е нула (0); следователно, всяко от установените полиномни уравнения трябва да бъде разрешено, като съответства на всеки от неговите фактори до нула.

Например, имате уравнението от трета степен (кубична) х³ + х² +4x + 4 = 0. За да го разрешите, трябва да се следват следните стъпки:

- Условията са групирани:

х³ + х² +4x + 4 = 0

(х³ + х² ) + (4x + 4) = 0.

- Крайниците са разбити, за да получат общия фактор на неизвестното:

х² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(х² + 4)_*(x + 1) = 0.

- По този начин се получават два фактора, които трябва да бъдат равни на нула:

(х² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Може да се види, че факторът (x² + 4) = 0 няма да има реално решение, докато фактор (x + 1) = 0 да. Следователно решението е:

(x + 1) = 0

х = -1.

Решени упражнения

Решете следните уравнения:

Първо упражнение

(2x² + 5)_*(x - 3)_*(1 + x) = 0.

разтвор

В този случай уравнението се изразява като умножение на полиноми; това е, тя е факторирана. За да го разреши, всеки фактор трябва да е равен на нула:

- 2x² + 5 = 0, няма решение.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Така даденото уравнение има две решения: х = 3 и х = -1.

Второ упражнение

х⁴ - 36 = 0.

разтвор

Беше даден полином, който може да бъде пренаписан като разлика на квадратите, за да се получи по-бързо решение. По този начин уравнението остава:

(х² + 6)_*(х² - 6) = 0.

За да се намери решението на уравненията, двата фактора са равни на нула:

(х² + 6) = 0, няма решение.

(х² - 6) = 0

х² = 6

х = ± .6.

Така първоначалното уравнение има две решения:

x = .6.

x = - .6.

препратки

1. Andres, T. (2010). Математическа олимпиада. Springer. Ню Йорк.
2. Ангел, А. Р. (2007). Елементарна алгебра Образование в Пиърсън,.
3. Baer, ​​R. (2012). Линейна алгебра и проективна геометрия. Куриерска корпорация.
4. Baldor, A. (1941). Алгебра. Хавана: Култура.
5. Castaño, H. F. (2005). Математика преди изчислението. Университет в Меделин.
6. Cristóbal Sánchez, M. R. (2000). Математическо ръководство за олимпийска подготовка. Universitat Jaume I.
7. Kreemly Pérez, М. L. (1984). Висша алгебра I.
8. Massara, N. C.-L. (1995). Математика 3.