Методи и примери за факторизация

на множители е метод, чрез който се изразява полином под формата на умножение на фактори, които могат да бъдат числа, букви или и двете. За факторизиране на общите за термините фактори са групирани и по този начин полиномът се разлага на няколко полинома..

Следователно, когато факторите се умножават, резултатът е първоначалният полином. Факторингът е много полезен метод, когато имате алгебрични изрази, защото той може да се преобразува в умножение на няколко прости думи; Например: 2а² + 2аб = 2а _* (a + b).

Има случаи, в които един полином не може да бъде изчислен, защото между неговите термини няма общ фактор; по този начин, тези алгебрични изрази са делими само между тях и с 1. Например: x + y + z.

В алгебричния израз общият фактор е най-големият общ делител на термините, които го съставят.

индекс

• 1 Методи за факторинг
  • 1.1 Факторинг чрез общ фактор
  • 1.2 Пример 1
  • 1.3 Пример 2
  • 1.4 Факторинг чрез групиране
  • 1.5 Пример 1
  • 1.6 Факторинг чрез инспекция
  • 1.7 Пример 1
  • 1.8 Пример 2
  • 1.9 Факторинг с забележителни продукти
  • 1.10 Пример 1
  • 1.11 Пример 2
  • 1.12 Пример 3
  • 1.13 Факторинг с правилото на Ruffini
  • 1.14 Пример 1
• 2 Препратки

Методи за факторинг

Има няколко метода на факторинг, които се прилагат в зависимост от случая. Някои от тях са следните:

Факторинг по общ фактор

При този метод се идентифицират онези фактори, които са общи; т.е. тези, които се повтарят в термините на израза. След това се прилага разпределителното свойство, максималният общ делител се премахва и факторизацията приключва.

С други думи, общият фактор на изразяване е идентифициран и всеки термин е разделен между него; получените термини ще бъдат умножени с най-големия общ фактор за изразяване на факторизацията.

Пример 1

Фактор (b²x) + (b²у).

разтвор

Първо, има общ фактор на всеки термин, който в този случай е b², и след това термините са разделени между общия фактор, както следва:

(б²x) / b² = x

(б²y) / b² = y.

Факторизацията се изразява, умножавайки общия фактор с получените термини:

(б²x) + (b²y) = b² (x + y).

Пример 2

Factorize (2а)²б³) + (3ab²).

разтвор

В този случай имаме два фактора, които се повтарят във всеки термин, които са "а" и "б", и които са издигнати до сила. За да ги вземе под внимание, първо двата термина се разделят на тяхната дълга форма:

2_*за_*за_*б_*б_*b + 3a_*б_*б

Може да се отбележи, че факторът "а" се повтаря само веднъж във втория член и факторът "b" се повтаря два пъти в него; така че в първия срок има само 2, фактор "а" и "б"; докато във втория срок има само 3.

Затова пишем часовете, които "a" и "b" се повтарят и умножават по факторите, останали от всеки термин, както се вижда на изображението:

Факторизация чрез групиране

Тъй като не във всички случаи максималният общ делител на полинома е ясно изразен, е необходимо да се направят други стъпки, за да може да се пренапише полиномът и следователно фактор.

Една от тези стъпки е да се групират термините на полинома в няколко групи и след това да се използва метода на общия фактор.

Пример 1

Фактор ac + bc + ad + bd.

разтвор

Има 4 фактора, при които две са често срещани: в първия термин е "c", а във втория е "d". По този начин двата термина са групирани и разделени:

(ac + bc) + (ad + bd).

Сега е възможно да се приложи методът на общия фактор, като всеки член се разделя на общия му фактор и след това се умножава този общ фактор с произтичащите от него термини, като това:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Сега получавате бином, който е общ за двата термина. Факторът се умножава по останалите фактори; по този начин трябва да:

ac + bc + ad + bd =  (c + d) _* (a + b).

Факторизиране чрез инспекция

Този метод се използва за факториране на квадратични полиноми, наричани още триноми; т.е. тези, които са структурирани като брадва² ± bx + c, където стойността на "а" е различна от 1. Този метод се използва и когато триножката има формата x² ± bx + c и стойността на "а" = 1.

Пример 1

Фактор х² + 5x + 6.

разтвор

Имате квадратичен трином на формата x² ± bx + c. За да го изчислите първо трябва да намерите две числа, които, когато се умножат, дават като резултат стойността на "c" (т.е. 6) и нейната сума е равна на коефициента "b", което е 5. Тези числа са 2 и 3. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

По този начин изразът е опростен по следния начин:

(х² + 2x) + (3x + 6)

Всеки термин е включен:

- За (x² + 2x) извлича се общият термин: x (x + 2)

- За (3x + 6) = 3 (x + 2)

Така изразът остава:

х (х +2) + 3 (х +2).

Тъй като имате общ бином, за да намалите израза, умножете го с излишните термини и трябва да:

х² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Пример 2

Фактор 4а² + 12a + 9 = 0.

разтвор

Имате квадратичен трином на формата ax² ± bx + c и за да се изчисли, изразът се умножава по коефициента x²; в този случай, 4.

4-ти² + 12а +9 = 0

4-ти² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a² + 12а (4) + 36 = 0

4² за² + 12а (4) + 36 = 0

Сега трябва да намерим две числа, които, когато се умножат заедно, дават като резултат стойността на "c" (която е 36) и че когато се добавят заедно, се получава коефициентът на термина "а", който е 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

По този начин изразът се пренаписва, като се има предвид това² за² = 4а _* 4А. Следователно разпределителното свойство се прилага за всеки срок:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Накрая, изразът се разделя на коефициента на²; това е 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

Изразът е както следва:

4-ти² + 12а +9 = (2а +3) _* (2a + 3).

Факторинг с забележителни продукти

Има случаи, в които, за да се изчисли напълно полиномите с предишните методи, той става много дълъг процес.

Ето защо може да бъде разработен израз с формулите на забележителните продукти и по този начин процесът става по-опростен. Сред най-използваните забележителни продукти са:

- Разлика на два квадрата: (a² - б²) = (a - b) _* (a + b)

- Перфектен квадрат от сума: a² + 2ab + b² = (a + b)²

- Перфектна квадратна разлика: a² - 2ab + b² = (а - б)²

- Разлика на два куба: a³ - б³ = (a-b)_*(а² + ab + b²)

- Сума от два куба: a³ - б³ = (a + b) _* (а² - ab + b²)

Пример 1

Фактор (5² - х²)

разтвор

В този случай има разлика от два квадрата; следователно се прилага формулата на забележителния продукт:

(а² - б²) = (a - b) _* (a + b)

(5² - х²) = (5 - x) _* (5 + x)

Пример 2

Фактор 16x² + 40x + 25²

разтвор

В този случай имаме перфектен квадрат на сума, защото можем да идентифицираме два члена на квадрат, а оставащият член е резултат от умножаване на два с квадратен корен от първия член, чрез квадратен корен от втория член..

за² + 2ab + b² = (a + b)²

За фактор се изчисляват само квадратните корени на първия и третия термин:

16 (16x²) = 4x

. (25²= 5.

След това двете произтичащи термини са разделени от знака на операцията, а целият полином е на квадрат:

16x² + 40x + 25² = (4x + 5)².

Пример 3

Фактор 27а³ - б³

разтвор

Изразът представлява изваждане, при което два фактора се издигат до куба. За да се вземат под внимание факторите, се прилага формулата на забележителния продукт на разликата в куба, която е:

за³ - б³ = (a-b)_*(а² + ab + b²)

По този начин, за факторизиране, кубичният корен на всеки член на бинома е извлечен и умножен по квадрата на първия член, плюс произведението на първия от втория член, плюс втория термин от квадрата.

27-ма³ - б³

³√ (27а³) = 3а

³√ (-b³) = -b

27-ма³ - б³ = (3a - б) _* [(3а)² + 3ab + b²)]

27-ма³ - б³ = (3a - б) _* (9а² + 3ab + b²)

Факторинг с правилото на Ruffini

Този метод се използва, когато имате полином със степен по-голяма от две, за да се опрости изразът до няколко полинома с по-малка степен.

Пример 1

Фактор Q (x) = x⁴ - 9x² + 4x + 12

разтвор

Първо потърсете числата, които са делители на 12, което е независим термин; те са ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 и ± 12.

Тогава x се заменя с тези стойности, от най-ниската до най-високата, и по този начин се определя с коя от стойностите ще бъде точното деление; останалата част трябва да бъде 0:

х = -1

Q (-1) = (-1)⁴ - 9 (-1)² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1⁴ - 9 (1)² + 4 (1) + 12 = 8. 0.

x = 2

Q (2) = 2⁴ - 9 (2)² + 4 (2) + 12 = 0.

И така нататък за всеки разделител. В този случай намерените фактори са за x = -1 и x = 2.

Сега се прилага методът Ruffini, според който коефициентите на израза ще бъдат разделени между факторите, намерени за делението, за да бъдат точни. Полиномните термини са подредени от най-високата до най-ниската степен; в случай, че липсва термин със степента, която следва в последователността, на негово място се поставя 0.

Коефициентите се намират в схема, както е показано на следното изображение.

Първият коефициент се понижава и умножава по делителя. В този случай първият делител е -1 и резултатът се поставя в следващата колона. Тогава стойността на коефициента се добавя вертикално с този получен резултат и резултатът се поставя по-долу. По този начин процесът се повтаря до последната колона.

Тогава същата процедура се повтаря отново, но с втория делител (което е 2), защото изразът все още може да бъде опростен.

По този начин, за всеки получен корен, полиномът ще има термин (x - a), където "a" е стойността на корена:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

От друга страна, тези условия трябва да бъдат умножени по остатъка от правило 1: 1 и -6 на Ruffini, които са фактори, които представляват степен. По този начин формираният израз е: (x² + x - 6).

Получаването на резултата от факторизацията на полинома по метода на Ruffini е:

х⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (х² + x - 6)

За да завърши, полиномът от степен 2, който се появява в предишния израз, може да бъде пренаписан като (x + 3) (x-2). Затова окончателното факторизиране е:

х⁴ - 9x² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2)_*(x + 3)_*(X-2).

препратки

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.
2. J, V. (2014). Как да научи децата за факторинг до полином.
3. Manuel Morillo, A.S. (s.f.). Основна математика с приложения.
4. Roelse, P. L. (1997). Линейни методи за полиномиална факторизация над крайни полета: теория и реализации. Университет Есен.
5. Sharpe, D. (1987). Пръстени и факторизация.