Хомотетични свойства, типове и примери

на homotecia е геометрична промяна в равнината, където от фиксирана точка, наречена център (O), разстоянията се умножават по общ фактор. По този начин всяка точка P съответства на друг продукт P 'на преобразуването и те са подравнени с точката O.

Тогава, хомотетията е съответствие между две геометрични фигури, където трансформираните точки се наричат ​​хомотетични, и те са подравнени с фиксирана точка и с сегменти, успоредни един на друг..

индекс

• 1 Homotecia
• 2 Свойства
• 3 вида
  • 3.1 Пряка хомотетия
  • 3.2 Обратна хомотетия
• 4 Състав
• 5 Примери
  • 5.1 Първи пример
  • 5.2 Втори пример
• 6 Препратки

homotecia

Хомотетията е трансформация, която няма конгруентен образ, тъй като от фигура ще бъде получена една или повече фигури с по-голям или по-малък размер от първоначалната фигура; тоест, че хомотетията превръща полигона в друг подобен.

За да се изпълни хомотетията, те трябва да отговарят на точка до точка и направо към права, така че двойките хомоложни точки да са подравнени с трета неподвижна точка, която е център на хомотетията.

По същия начин, двойките линии, които ги свързват, трябва да са успоредни. Връзката между такива сегменти е константа, наречена съотношение на хомотетия (k); по такъв начин, че хомотетията да може да бъде определена като:

За да направите този вид трансформация, започнете, като изберете произволна точка, която ще бъде център на хомотетията.

От тази точка се изтеглят сегментите на линиите за всеки връх на фигурата, която трябва да се трансформира. Мащабът, в който се прави възпроизвеждането на новата фигура, се дава от причината за хомотетията (k).

свойства

Едно от основните свойства на хомотетията е, че поради хомотетията (k), всички хомотетични фигури са сходни. Сред другите изключителни свойства са следните:

- Центърът на хомотетията (О) е единствената двойна точка и тя се трансформира в себе си; това означава, че не се променя.

- Линиите, които минават през центъра, се трансформират (те са двойни), но точките, които го съставят, не са двойни.

- Правата, които не преминават през центъра, се трансформират в паралелни линии; по този начин ъглите на хомотетията остават същите.

- Образът на сегмент от хомотетия от център O и съотношение k, е сегмент, успореден на това и има k пъти своята дължина. Например, както се вижда от следното изображение, сегмент AB по хомотетичен ще доведе до друг сегмент A'B ', така че AB ще бъде успореден на A'B' и k ще бъде:

- Хомотетичните ъгли са еднакви; те имат една и съща мярка. Следователно, изображението на ъгъл е ъгъл, който има същата амплитуда.

От друга страна, хомотетията варира в зависимост от стойността на неговото съотношение (k) и могат да възникнат следните случаи:

- Ако константата k = 1, всички точки са фиксирани, защото се трансформират. По този начин, хомотетичната фигура съвпада с оригинала и трансформацията ще се нарича идентифицираща функция.

- Ако k, 1, единствената неподвижна точка ще бъде център на хомотетията (O).

- Ако k = -1, хомотетията става централна симетрия (С); това означава, че въртенето около С ще се случи под ъгъл 180^или.

- Ако k> 1, размерът на трансформираната фигура ще бъде по-голям от размера на оригинала.

- Да 0 < k < 1, el tamaño de la figura transformada será menor que el de la original.

- Да -1 < k < 0, el tamaño de la figura transformada será menor y estará girada con respecto a la original.

- Ако k < -1, el tamaño de la figura transformada será mayor y estará girada con respecto a la original.

тип

Хомотетията може също да бъде класифицирана в два типа, в зависимост от стойността на неговото съотношение (k):

Директна хомотетия

Това се случва, ако константата k> 0; хомотетичните точки са от една и съща страна по отношение на центъра:

Факторът на пропорционалност или съотношението на сходството между преките хомотетични фигури винаги ще бъде положителен.

Обратно хомотетично

Това се случва, ако константата k < 0; es decir, los puntos iniciales y sus homotéticos se ubican en los extremos opuestos con respecto al centro de la homotecia pero alineados a esta. El centro se encontrará entre las dos figuras:

Факторът на пропорционалност или съотношението на сходството между хомотетичните обратни цифри винаги ще бъде отрицателен.

композиция

Когато няколко движения се правят последователно, докато не се получи фигура, равна на оригинала, настъпва състав от движения. Съставът на няколко движения е също движение.

Съставът между две хомотеции води до нова хомотеция; имаме хомотетичен продукт, в който центърът ще бъде подравнен с центъра на двете оригинални трансформации, а съотношението (k) е продукт на двете причини.

По този начин, в състава на две Н хомотици₁(O₁, к₁) и Н₂(O₂, к₂), умножаване на причините: k₁ x k₂ = 1 ще доведе до хомотетия на съотношение k₃ = K₁ x k₂. Центърът на тази нова хомотетия (O₃) ще бъде разположен на O прав₁ О₂.

Хомотетията съответства на плоска и необратима промяна; ако се прилагат две хомотеции, които имат един и същ център и съотношение, но с различен знак, първоначалната цифра ще бъде получена.

Примери

Първи пример

Приложете хомотетия към дадения централен многоъгълник (O), разположен на 5 см от точка А и чието съотношение е k = 0.7..

разтвор

Всяка точка е избрана като център на хомотетията, и от този лъч са изтеглени от върховете на фигурата:

Разстоянието от центъра (O) до точка A е OA = 5; с това можете да определите разстоянието на една от хомотетичните точки (OA '), като знаете също, че k = 0.7:

OA '= k x OA.

OA '= 0.7 х 5 = 3.5.

Процесът може да се извърши за всеки връх, или можете също да извлечете хомотетичния многоъгълник, като помните, че двата полигона имат паралелни страни:

Накрая, трансформацията изглежда така:

Втори пример

Приложете хомотетия към дадения централен многоъгълник (O), разположен на 8,5 см от точка С и чието у коефициент k = -2.

разтвор

Разстоянието от центъра (O) до точка C е OC = 8.5; с тези данни е възможно да се определи разстоянието на една от хомотетичните точки (OC '), като се знае също, че k = -2:

OC '= k x OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

След изчертаване на сегментите на върховете на трансформирания многоъгълник, първоначалните точки и техните хомотетици са разположени в противоположните краища спрямо центъра:

препратки

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Технически чертеж: тетрадка за дейности.
2. Antonio Álvarez de la Rosa, J. L. (2002). Афинитет, хомология и хомотетия.
3. Baer, ​​R. (2012). Линейна алгебра и проективна геометрия. Куриерска корпорация.
4. Hebert, Y. (1980). Обща математика, вероятности и статистика.
5. Meserve, Б. Е. (2014). Основни концепции за геометрията. Куриерска корпорация.
6. Nachbin, L. (1980). Въведение в алгебрата. Реверте.