Произход на математическата логика, какви изследвания, типове



на математическа логика или символна логика е математически език, който включва необходимите инструменти, с помощта на които може да се потвърди или отхвърли математическото разсъждение;.

Добре известно е, че в математиката няма неясноти. Като се има предвид математически аргумент, това е валидно или просто не. Тя не може да бъде невярна и вярна едновременно.

Особен аспект на математиката е, че той има формален и строг език, чрез който може да се определи валидността на разсъжденията. Какво е това, което прави някои аргументи или някакви математически доказателства неопровержими? Ето за какво става дума в математическата логика.

По този начин, логиката е дисциплината на математиката, която е отговорна за изучаването на математически разсъждения и демонстрации, и осигурява инструментите, за да може да заключи правилно заключение от предишни изявления или предложения..

За да направи това, тя използва аксиоми и други математически аспекти, които ще бъдат разработени по-късно.

индекс

  • 1 Произход и история
    • 1.1 Аристотел
  • 2 Какви изследвания на математическа логика?
    • 2.1 Предложения
    • 2.2 Истински таблици
  • 3 Видове математическа логика
    • 3.1 Области
  • 4 Препратки

Произход и история

Точните дати по отношение на много аспекти на математическата логика са несигурни. Въпреки това, повечето библиографии по темата проследяват произхода на тази древна Гърция.

Аристотел

Началото на строгото третиране на логиката се дължи отчасти на Аристотел, който е написал набор от логически творби, които по-късно са събрани и разработени от различни философи и учени до средновековието. Това може да се счита за "старата логика".

След това, в това, което е известно като съвременната епоха, Лайбниц, движен от дълбокото желание да се създаде универсален език, за да разсъждава математически, и други математици като Готлоб Фреге и Джузепе Пеано, повлияха особено на развитието на математическата логика с голям принос сред тях аксиомите на Пеано, които формулират необходимите свойства на естествените числа.

Математиците Джордж Бул и Георг Кантор също са имали голямо влияние по това време, с важен принос в теорията на множествата и таблиците на истината, подчертавайки, наред с други аспекти, булева алгебра (от Джордж Бул) и аксиома на избора. (от Джордж Кантор).

Има и Август Де Морган с добре познатите закони на Морган, които разглеждат отричанията, съюзите, разединенията и условните между предложения, ключовете за развитието на символичната логика и Джон Вен с известните диаграми на Вен..

През 20-ти век, приблизително между 1910 и 1913 г., Бертран Ръсел и Алфред Норт Уайтхед се открояват с публикуването на Principia mathematica, комплект книги, който събира, развива и постулира поредица от аксиоми и логически резултати.

Какви изследвания на математическата логика?

предложения

Математическата логика започва с изучаването на предложения. Предложението е потвърждение, че без никаква двусмисленост може да се каже, ако е вярно или не. Следват примери за предложения:

  • 2 + 4 = 6.
  • 52= 35.
  • През 1930 г. в Европа е имало земетресение.

Първото е истинско предложение, а второто е погрешно твърдение. Третото, въпреки че е възможно лицето, което го чете, не знае дали е вярно или незабавно, това е изявление, което може да бъде проверено и определено, ако наистина се е случило или не.

Следват примери за изрази, които не са предложения:

  • Тя е блондинка.
  • 2x = 6.
  • Да играем!
  • Харесва ли ви киното?

В първото твърдение не е уточнено кой е "тя", следователно нищо не може да бъде потвърдено. Във второто твърдение, това, което е представено с "x", не е уточнено. Ако вместо това беше казано, че 2x = 6 за някакво естествено число x, то в този случай би съответствало на предложение, всъщност вярно, тъй като при x = 3 то е изпълнено.

Последните две твърдения не съответстват на предложение, тъй като няма начин да се отрекат или утвърдят.

Две или повече предложения могат да бъдат комбинирани (или свързани) чрез познатите съединителни съединители (или съединители). Това са:

  • Отказ: „Не вали”.
  • Disjunction: "Луиза купи бяла или сива чанта".
  • Съвместно: "42= 16 и 2 × 5 = 10 ".
  • Условно: "Ако вали, тогава няма да ходя във фитнеса този следобед".
  • Biconditional: "Аз отивам на фитнес този следобед, ако, и само ако, не дъжд".

Предложение, което не притежава нито една от предишните съединителни, се нарича просто предложение (или атомно). Например, "2 е по-малко от 4", е просто предложение. Твърденията, които имат някаква съединителна, се наричат ​​съставни твърдения, като например "1 + 3 = 4 и 4 е четно число".

Твърденията, направени чрез предложения, обикновено са дълги, така че е досадно да ги пишете винаги, както видяхме досега. Поради тази причина се използва символичен език. Предложенията обикновено се представят с главни букви като Р, Q, R, S, и т.н. И символичната връзка, както следва:

Така че

на реципрочен на условно предложение

е предложението

И contrapositive (или противоположно) на едно предложение

е предложението

Таблици на истината

Друга важна концепция в логиката е тази на таблиците на истината. Истинските стойности на едно твърдение са двете възможности, които са на разположение за едно твърдение: истина (което ще бъде означено с V и нейната истинска стойност ще бъде V) или невярно (което ще бъде обозначено с F и неговата стойност ще бъде казана). наистина е F).

Истинската стойност на едно сложно твърдение зависи изключително от истинските стойности на простите твърдения, които се появяват в него.

За да работим по-общо, няма да разглеждаме конкретни предложения, а про-позитивни променливи p, q, r, s, и т.н., които ще представят всякакви предложения.

С тези променливи и логическите свързващи елементи се формират добре познатите формули на предложенията, когато се конструират сложни твърдения.

Ако всяка от променливите, които се появяват в една формула на предложение, се заменя с предложение, се получава комбинирано предложение.

По-долу са представени таблиците за истинност за логически връзки:

Съществуват предложенияни формули, които получават само стойността V в тяхната таблица на истината, т.е. последната колона на тяхната таблица на истината има само стойността V. Този тип формули е известен като тавтология. Например:

Следващата таблица на истината на формулата

Казва се, че една формула α логично предполага друга формула β, ако α е вярно всеки път, когато β е вярно. Това означава, че в таблицата на истинността на α и β редовете, в които α има V, β, също имат V. Само интересуват редовете, в които α имат стойност V. Описанието за логическо значение е следното: :

Следната таблица обобщава свойствата на логическото значение:

Казва се, че две формули на предложението са логически еквивалентни, ако техните таблици на истината са идентични. Следната нотация се използва за изразяване на логическата еквивалентност:

Следващите таблици обобщават свойствата на логическата еквивалентност:

Видове математическа логика

Има различни видове логика, особено ако се вземе предвид прагматичната или неформалната логика, която сочи към философията, наред с други области.

Що се отнася до математиката, видовете логика могат да бъдат обобщени, както следва:

  • Формална или аристотелова логика (Древна логика).
  • Пропозитивна логика: отговаря за изучаването на всичко, свързано с валидността на аргументите и предложенията, използвайки формален език, а също и символично.
  • Символична логика: фокусирана върху изучаването на множества и техните свойства, също с формален и символен език, и е дълбоко свързана с логиката на предложението.
  • Комбинаторната логика: една от най-новите разработени, включва резултати, които могат да бъдат разработени чрез алгоритми.
  • Логическо програмиране: използва се в различните пакети и езици за програмиране.

области

Сред областите, които използват математическата логика по незаменим начин в развитието на техните разсъждения и аргументи, те подчертават философията, теорията на множествата, теорията на числата, конструктивната алгебрична математика и програмните езици..

препратки

  1. Aylwin, C. U. (2011). Логика, комплекти и числа. Мерида - Венецуела: Съвет за публикации, Универсидад де Лос Андес.
  2. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Въведение в теорията на числата. EUNED.
  3. Castañeda, S. (2016). Основен курс по теория на числата. Университет на Севера.
  4. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Как да разработим математическа логическа логика. Университетска редакция.
  5. Zaragoza, A.C. (s.f.). Теория на числата. Книги за редакционна визия.