Методи и примери за преброяване на мултипликативни принципи

на мултипликативен принцип е техника, използвана за решаване на проблемите с броенето, за да се намери решението, без да е необходимо да се изброяват нейните елементи. Той е известен също като основен принцип на комбинаторния анализ; се основава на последователно умножение, за да се определи как може да се случи дадено събитие.

Този принцип установява, че ако решение (d₁) могат да се вземат по n начини и друго решение (d₂) могат да се вземат по m начини, общия брой на начините, по които могат да се вземат решения₁ и d₂ ще бъде равно на умножение на n _* м. Според принципа, всяко решение се прави едно след друго: брой начини = N_{1 *} N₂... _* N_х начини.

индекс

• 1 Примери
  • 1.1 Пример 1
  • 1.2 Пример 2
• 2 Техники за броене
  • 2.1 Принцип на добавяне
  • 2.2 Принцип на пермутация
  • 2.3 Принцип на комбинация
• 3 Упражнения са решени
  • 3.1 Упражнение 1
  • 3.2 Упражнение 2
• 4 Препратки

Примери

Пример 1

Паула планира да отиде на кино с приятелите си и да избере дрехите, които ще носи, отделям 3 блузи и 2 поли. Колко начина може да се облече Паула??

разтвор

В този случай Паула трябва да вземе две решения:

г₁ = Изберете между 3 блузи = n

г₂ = Изберете между 2 поли = m

По този начин Паула има п _* m решения за вземане или различни начини на обличане.

п _* m = 3_* 2 = 6 решения.

Мултипликативният принцип идва от техниката на дървовидната диаграма, която е диаграма, която свързва всички възможни резултати, така че всеки може да се появи краен брой пъти.

Пример 2

Марио беше много жаден, затова отиде в пекарна да купи сок. Луис му отговаря и му казва, че има два размера: голям и малък; и четири вкуса: ябълка, портокал, лимон и грозде. Колко начина може да избере Марио сок?

разтвор

На диаграмата може да се види, че Марио има 8 различни начина за избор на сок и че, както и в мултипликативния принцип, този резултат се получава от умножението на n_*м. Единствената разлика е, че чрез тази диаграма можете да знаете как са начините, по които Марио избира сока.

От друга страна, когато броят на възможните резултати е много голям, по-практично е да се използва мултипликативният принцип.

Техники за броене

Техники за броене са методи, използвани за директно преброяване и следователно знаят броя на възможните мерки, които елементите на даден набор могат да имат. Тези техники се основават на няколко принципа:

Принцип на добавяне

Този принцип гласи, че ако две събития m и n не могат да се появят едновременно, броят на начините, по които първото или второто събитие може да се случи, ще бъде сумата от m + n:

Брой форми = m + n ... + x различни форми.

пример

Антонио иска да пътува, но не решава коя дестинация; в Южната туристическа агенция те ви предлагат промоция за пътуване до Ню Йорк или Лас Вегас, а Източната туристическа агенция ви препоръчва да пътувате до Франция, Италия или Испания. Колко различни алтернативи за пътуване предлагат Антонио?

разтвор

С Южната агенция по туризъм Антонио има две алтернативи (Ню Йорк или Лас Вегас), а в Агенцията по туризъм на Изток има 3 варианта (Франция, Италия или Испания). Броят на различните алтернативи е:

Брой алтернативи = m + n = 2 + 3 = 5 алтернативи.

Принцип на пермутация

Става въпрос за поръчване на всички или някои от елементите, които съставляват набор, за да се улесни преброяването на всички възможни договорености, които могат да бъдат направени с елементите..

Броят на пермутациите на n различни елементи, взети наведнъж, се представя като:

_пP_п = n!

пример

Четирима приятели искат да направят снимка и да знаят колко различни форми могат да бъдат поръчани.

разтвор

Искате да знаете всички възможни начини, по които 4-те души могат да бъдат поставени, за да направят снимката. Така че трябва да:

₄P₄ = 4! = 4_*3_*2_*1 = 24 различни начина.

Ако броят на пермутациите на n налични елементи се взема от части от множеството, образувани от r елементи, то се представя като:

_пP_{r =} н! ÷ (n - r)!

пример

В класната стая има 10 позиции. Ако 4 ученици посещават класа, по колко различни начина могат да заемат учениците?

разтвор

Общият брой на столовете е 10, от които само 4 ще бъдат използвани 4. Дадената формула се прилага за определяне на броя на пермутациите:

_пP_R = n! ÷ (n - r)!

₁₀P₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀P₄ = 10! . 6!

₁₀P₄= 10_* 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1. 6_*5_*4_*3_*2_*1 = 5040 начина за попълване на публикациите.

Има случаи, в които някои от наличните елементи на множеството се повтарят (те са едни и същи). За изчисляване на броя на мерките, приемащи всички елементи едновременно, се използва следната формула:

_пP_R = n! . N₁!_* п₂!... n_R!

пример

Колко различни думи от четири букви могат да бъдат формирани от думата "вълк"?

разтвор

В този случай имаме 4 елемента (букви), от които две от тях са еднакви. Прилагайки дадената формула, ние знаем колко различни думи са:

_пP_R = n! . N₁!_* п₂!... n_R!

₄P_{2, 1.1} = 4! . 2!_*1!_*1!

₄P_{2, 1, 1} = (4_*3_*2_*1) (2_*1)_*1_*1

₄P_{2, 1, 1} = 24 = 2 = 12 различни думи.

Принцип на комбинация

Става дума за фиксиране на всички или някои от елементите, които образуват сет без определен ред. Например, ако имате XYZ масив, той ще бъде идентичен с ZXY, YZX, ZYX масивите, между другото; това е защото, въпреки че не са в същия ред, елементите на всяко подреждане са еднакви.

Когато се вземат някои елементи (r) от множеството (n), принципът на комбинацията се дава чрез следната формула:

_пC_{r =} н! N (n - r)! R!

пример

В магазин се продават 5 различни вида шоколад. Колко различни начина можете да изберете 4 шоколада?

разтвор

В този случай трябва да изберете 4 шоколада от 5-те вида, продавани в магазина. Редът, в който са избрани, няма значение и освен това един вид шоколад може да бъде избран повече от два пъти. Прилагайки формулата, трябва да:

_пC_R = n! N (n - r)! R!

₅C₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅C₄ = 5! (1)!!

₅C₄ = 5_*4_*3_*2_*1. 4_*3_*2_*1

₅C₄ = 120 = 24 = 5 различни начина за избор на 4 шоколада.

Когато се вземат всички елементи (r) от множеството (n), принципът на комбинацията се дава по следната формула:

_пC_{n =} п!

Решени упражнения

Упражнение 1

Имате бейзболен отбор с 14 членове. По колко начина може да зададете 5 позиции за игра?

разтвор

Наборът се състои от 14 елемента и искате да зададете 5 специфични позиции; този ред е от значение. Прилага се формулата за пермутация, където n налични елементи се вземат от части от множеството, образувани от r.

_пP_{r =} н! ÷ (n - r)!

Където n = 14 и r = 5. Заменя се по формулата:

₁₄P₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄P₅ = 14! (9)!

₁₄P₅ = 240 240 начина да се зададат 9 игрални позиции.

Упражнение 2

Ако едно 9-членно семейство пътува и купува билети с последователни места, колко различни начина могат да седят?

разтвор

Това са около 9 елемента, които ще заемат 9 места последователно.

P₉ = 9!

P₉ = 9_*8_*7_*6_*5_*4_*3_*2_*1 = 362 880 различни начина на заседание.

препратки

1. Hopkins, B. (2009). Ресурси за преподаване на дискретна математика: проекти в класната стая, исторически модули и статии.
2. Johnsonbaugh, R. (2005). Дискретна математика Образование в Пиърсън,.
3. Lutfiyya, L. A. (2012). Крайни и дискретни математически задачи. Редакторите на Асоциация за изследвания и образование.
4. Padro, F.C. (2001). Дискретна математика Politec. на Каталуния.
5. Steiner, E. (2005). Математика за приложни науки. Реверте.