Известни обяснения за продукти и решени упражнения



на забележителни продукти те са алгебрични операции, в които се изразяват умножения на полиноми, които не трябва да се решават традиционно, но с помощта на определени правила можете да намерите резултатите от тях..

Полиномите се умножават сами по себе си, следователно те могат да имат голям брой термини и променливи. За да се направи процесът по-кратък, се използват правилата на забележителните продукти, които позволяват да се направят мултипликации, без да се налага да минават по термин..

индекс

  • 1 Известни продукти и примери
    • 1.1 Биномен квадрат
    • 1.2 Продукт от спрегнати биноми
    • 1.3 Продукт на два биномина с общ термин
    • 1.4 Полином на квадрат
    • 1.5 Бином на куба
    • 1.6 Кофа на триномен
  • 2 Упражнения, решени за забележителни продукти
    • 2.1 Упражнение 1
    • 2.2 Упражнение 2
  • 3 Препратки

Известни продукти и примери

Всеки забележителен продукт е формула, която произтича от факторизация, съставена от полиноми от различни термини като биноми или триноми, наречени фактори.

Факторите са в основата на властта и имат показател. Когато коефициентите се умножат, трябва да се добавят показателите.

Има няколко забележителни продуктови формули, някои от тях са по-използвани от други в зависимост от полиномите и са следните:

Биномен на квадрат

Това е умножението на самото биномно число, изразено във формата на сила, където се добавят или изваждат термините:

а. Биномиал от сумата към квадрата: е равен на квадрата на първия член, плюс два пъти произведението на термините, плюс квадрата на втория термин. Тя се изразява, както следва:

(a + b)2 = (a + b) * (a + b).

Следващата фигура показва как продуктът е разработен в съответствие с гореспоменатото правило. Резултатът се нарича триномен на идеалния квадрат.

Пример 1

(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²

(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25

(x + 5) ² = x² + 10x + 25.

Пример 2

(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4а) * 2б) + (2б)2

(4a + 2b) = 8а2 + 2 (8ab) + 4b2

(4a + 2b) = 8а2 + 16 ab + 4b2.

б. Binomial of subtraction squared: същото правило се прилага и към бинома на една сума, само че в този случай вторият термин е отрицателен. Формулата му е следната:

а - б)2 = [(a) + (- b)]2

а - б)2 = a2 +2-ри * (-b) + (-b)2

а - б)2  = a2 - 2ab + b2.

Пример 1

(2x - 6)2 = (2x)2 - 2 (2x * 6) + 62

(2x - 6)2  = 4x2 - 2 (12х) + 36

(2x - 6)2 = 4x2 - 24x + 36.

Продукт от спрегнати биноми

Два бинома са спрегнати, когато вторият член на всеки от тях е с различни знаци, т.е., че първият е положителен и този на втория отрицателен или обратното. Решете чрез повдигане на всеки мономерен квадрат и изваждане. Формулата му е следната:

(a + b) * а - б)

В следващата фигура е разработен продуктът на две спрегнати биноми, където се наблюдава, че резултатът е разлика на квадратите..

Пример 1

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b)2)

(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9б2.

Продукт на два биномина с общ термин

Той е един от най-сложните и малко използвани забележителни продукти, защото това е умножение на два бинома, които имат общ термин. Правилото показва следното:

  • Квадратът на общия термин.
  • Плюс добавете термините, които не са общи и след това ги умножете по общия термин.
  • Плюс сумата на умножението на термини, които не са често срещани.

Той е представен във формулата: (x + a) * (x + b) и се развива, както е показано на изображението. Резултатът е квадратен трином, който не е съвършен.

(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.

Съществува вероятност вторият термин (различен термин) да е отрицателен, а формулата му да е следната: (x + a) * (x - б).

Пример 2

(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2)* 7x + (4 * -2)

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2)* 7x - 8

(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.

Може да се окаже, че и двата различни термина са отрицателни. Формулата му ще бъде: (x - a) * (x - б).

Пример 3

(3б - 6) * (3b - 5) = (3b * 3б) + (-6 - 5)* (3b) + (-6 * -5)

(3б - 6) * (3b-5) = 9b2 + (-11) * (3б) + (30)

(3б - 6) * (3b-5) = 9b2 - 33b + 30.

Квадратен полином

В този случай има повече от два термина и за да се развие, всеки от тях се поставя на квадрат и се добавя заедно с двойно умножение на един термин с друг; формулата му е: (a + b + c)2 и резултатът от операцията е триномен на квадрат.

Пример 1

(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2у)2 + (4Z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)

(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4у2 + 16Z2 + 12xy + 24xz + 16yz.

Бином на куба

Това е забележителен сложен продукт. За да я развиете, умножете бинома с неговия квадрат по следния начин:

а. За бинома на куба на сумата:

  • Кубът на първия член плюс тройката на квадрата на първия член от втория.
  • Плюс тройно първия мандат, за втория квадрат.
  • Плюс куба на втория термин.

(a + b)3 = (a + b) * (a + b)2

(a + b)3 = (a + b) * (а2 + 2ab + b2)

(a + b)3 = a3 + 2-ри2b + ab2 + ба2 + 2ab2 + б3

(a + b)3 = a3 + 3-ти2b + 3ab2 + б3.

Пример 1

(a + 3)3 = a3 + 3 (а)2*(3) + 3 (а)*(3)2 + (3)3

(a + 3)3 = a3 + 3 (а)2*(3) + 3 (а)*(9) + 27

(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27а + 27.

б. За бинома на куба на изваждането:

  • Кубът на първия член, минус тройката на квадрата на първия член от втория.
  • Плюс тройно първия мандат, за втория квадрат.
  • По-малко куб от втория термин.

а - б)3 = (а - б) * а - б)2

а - б)3 = (а - б) * (а2 - 2ab + b2)

а - б)3 = a3 - 2-ри2b + ab2 - ба2 + 2ab2 - б3

а - б)3 = за3 - 3-ти2b + 3ab2 - б3.

Пример 2

(б - 5)3 = b3 + 3, буква б)2*(-5) + 3 (б)*(-5)2 + (-5)3

(б - 5)3 = b3 + 3, буква б)2*(-5) + 3 (б)*(25) -125

(б - 5)3 = b3 - 15б2 +75b - 125.

Кофа на триномен

Тя се развива чрез умножаване по квадрат. Това е забележителен продукт, който е много обширен, тъй като има 3 повдигнати до куба термини, плюс три пъти всеки термин на квадрат, умножен по всеки от термините, плюс шест пъти продукта от трите термина. Погледнат по-добре:

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2

(a + b + c)3 = (a + b + c) * (а2 + б2 + в2 + 2ab + 2ac + 2bc)

(a + b + c)3 = A3 + б3 + в3 + 3-ти2b + 3ab2 + 3-ти2c + 3ac2 + 3б2c + 3bc2 + 6abc.

Пример 1

Решени упражнения за забележителни продукти

Упражнение 1

Разработете следния бином на куба: (4x - 6)3.

разтвор

Припомняйки, че биномът на куба е равен на първия член, повдигнат на куба, по-малко от тройката на квадрата на първия член от втория; плюс тройката на първия член, от втория квадрат, минус куба на втория член.

(4x - 6)3 = (4x)3 - 3 (4x)2(6) + 3 (4x) * (6)2 - (6)2

(4x - 6)3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x)* (36) - 36

(4x - 6)3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.

Упражнение 2

Разработете следния бином: (x + 3) (x + 8).

разтвор

Има един бином, където има общ термин, който е x, а вторият термин е положителен. За да го развиете, трябва само да сдвоите общия термин, плюс сумата на термините, които не са общи (3 и 8), и след това да ги умножите по общия термин, плюс сумата на умножението на термините, които не са общи.

(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3*8)

(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.

препратки

  1. Ангел, А. Р. (2007). Елементарна алгебра. Образование в Пиърсън,.
  2. Артър Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.
  3. Das, S. (s.f.). Математика плюс 8. Обединено кралство: Ратна Сагар.
  4. Джером Кауфман, К. Л. (2011). Елементарна и средна алгебра: комбиниран подход. Флорида: Cengage Learning.
  5. Pérez, C.D. (2010). Образование в Пиърсън.