Какво представляват тригонометричните граници? (с решени упражнения)

на тригонометрични граници те са граници на функции, така че тези функции се формират от тригонометрични функции.

Има две определения, които трябва да бъдат известни, за да се разбере как се извършва изчисляването на тригонометричния лимит.

Тези определения са:

- Ограничение на функция "f", когато "x" се стреми към "b": то се състои в изчисляване на стойността, до която f (x) се приближава, когато "x" се приближава до "b", без да достига "b".

- Тригонометрични функции: тригонометричните функции са синусови, косинусни и допирателни функции, означени съответно с sin (x), cos (x) и tan (x), съответно.

Другите тригонометрични функции се получават от трите функции, споменати по-горе.

Граници на функции

За да се изясни концепцията за границата на дадена функция ще продължим да показваме някои примери с прости функции.

- Границата на f (x) = 3, когато "x" има тенденция към "8", е равна на "3", тъй като функцията е винаги постоянна. Без значение колко струва "x", стойността на f (x) винаги ще бъде "3".

- Границата на f (x) = x-2, когато "x" има тенденция към "6" е "4". От когато "x" се приближава до "6", тогава "x-2" се приближава до "6-2 = 4".

- Границата на g (x) = x², когато "x" се стреми към "3", е равна на 9, тъй като когато "x" се приближава до "3", тогава "x²" се приближава до "3² = 9".

Както може да се види от предишните примери, изчисляването на границата се състои в оценяване на стойността, към която "x" има тенденция във функцията, и резултатът ще бъде стойността на границата, въпреки че това е вярно само за непрекъснати функции.

Има ли по-сложни граници?

Отговорът е да. Горните примери са най-простите примери за граници. В изчислителните книги основните упражнения за ограничения са тези, които генерират неопределеност от типа 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 и (∞) ^ 0.

Тези изрази се наричат ​​неопределени, тъй като те са изрази, които математически нямат смисъл.

В допълнение към това, в зависимост от функциите, включени в първоначалната граница, резултатът, получен при решаването на неопределеността, може да бъде различен във всеки случай.

Примери за прости тригонометрични ограничения

За да се решат границите, винаги е много полезно да се познават графиките на включените функции. По-долу са дадени графиките на функциите на синус, косинус и допирателна.

Някои примери за прости тригонометрични ограничения са:

- Изчислете границата на sin (x), когато "x" се стреми към "0".

Когато преглеждате графиката, можете да видите, че ако "x" се приближава до "0" (както отляво, така и отдясно), то синусната графика също се доближава до "0". Следователно, границата на sin (x), когато "x" има тенденция към "0" е "0".

- Изчислете границата на cos (x), когато "x" се стреми към "0".

Наблюдавайки косинусната графика, може да се види, че когато "х" е близко до "0", тогава косинусната графика е близка до "1". Това означава, че границата на cos (x), когато "x" има тенденция към "0", е равна на "1".

Може да съществува лимит (да бъде число), както в предишните примери, но също така може да се случи, че той не съществува, както е показано в следващия пример.

- Границата на tan (x), когато "x" има тенденция към "Π / 2" отляво, е равна на "+ ∞", както може да се види на графиката. От друга страна, границата на tan (x), когато "x" има тенденция към "-Π / 2" отдясно, е равна на "-∞".

Идентичност на тригонометричните граници

Две много полезни идентичности при изчисляването на тригонометричните ограничения са:

- Границата на "sin (x) / x", когато "x" има тенденция към "0", е равна на "1".

- Ограничението на "(1-cos (x)) / x", когато "x" има тенденция към "0", е равно на "0".

Тези идентичности се използват много често, когато имате някакъв вид неопределеност.

Решени упражнения

Решете следните ограничения, използвайки описаните по-горе идентичности.

- Изчислете границата на "f (x) = sin (3x) / x", когато "x" се стреми към "0".

Ако функцията "f" се изчислява в "0", ще се получи неопределеност от тип 0/0. Затова трябва да се опитаме да разрешим тази неопределеност, използвайки описаните идентичности.

Единствената разлика между тази граница и идентичност е числото 3, което се появява в рамките на функцията на синуса. За да приложите самоличността, функцията "f (x)" трябва да бъде пренаписана по следния начин "3 * (sin (3x) / 3x)". Сега и двата аргумента на синуса и знаменателя са равни.

Така че, когато "x" се стреми към "0", използвайки резултатите от идентичността в "3 * 1 = 3". Следователно, границата на f (x), когато "x" има тенденция към "0", е равна на "3".

- Изчислява се границата на "g (x) = 1 / x - cos (x) / x", когато "x" се стреми към "0".

Когато "x = 0" е заместено в g (x), се получава неопределеност от вида ∞-∞. За да го решим, дробите се изваждат, което дава резултат "(1-cos (x)) / x".

Сега, когато прилагаме втората тригонометрична идентичност, имаме границата на g (x), когато "x" се стреми към "0", равна на 0.

- Изчислете границата на "h (x) = 4tan (5x) / 5x", когато "x" се стреми към "0".

Отново, ако оцените h (x) до "0", ще получите неопределен тип 0/0.

Пренаписване на tan (5x) като sin (5x) / cos (5x) резултати, че h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Използвайки границата на 4 / cos (x), когато "x" има тенденция към "0" е равна на "4/1 = 4" и се получава първата тригонометрична идентичност, че границата на h (x), когато "x" има тенденция a "0" е равно на "1 * 4 = 4".

наблюдение

Тригонометричните ограничения не винаги са лесни за решаване. В тази статия са показани само основни примери.

препратки

1. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus Математика. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus математика: подход за решаване на проблеми (2, Illustrated ed.). Мичиган: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.
4. Ларсън, Р. (2010). Precalculus (8 изд.). Cengage Learning.
5. Leal, J. М., & Viloria, N. G. (2005). Плоска аналитична геометрия. Мерида - Венецуела: редакция Venezolana C. A.
6. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Образование в Пиърсън.
7. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). изчисление (Девето издание). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Диференциално смятане с ранните трансцендентални функции за наука и инженерство (Второ издание, издание). хипотенуза.
9. Скот, К. А. (2009). Декартова геометрия, част: аналитична коника (1907) (препечатайте издание). Източник на мълния.
10. Съливан, М. (1997). precalculus. Образование в Пиърсън.