Какво представляват наклонените триъгълници? (с решени упражнения)

на наклонени триъгълници са тези триъгълници, които не са правоъгълници. Т.е. триъгълници, така че нито един от неговите ъгли да не е под прав ъгъл (неговото измерване е 90º).

Без правоъгълник, тогава Питагоровата теорема не може да бъде приложена към тези триъгълници.

Следователно, за да знаем данните в наклонен триъгълник, е необходимо да използваме други формули.

Формулите, необходими за решаване на наклонен триъгълник, са така наречените закони на синусите и косинусите, които ще бъдат описани по-късно..

В допълнение към тези закони, винаги може да се използва фактът, че сумата на вътрешните ъгли на триъгълник е равна на 180º..

Наклонни триъгълници

Както беше казано в началото, наклоненият триъгълник е триъгълник, така че нито един от неговите ъгли не измерва 90º.

Проблемът с намирането на дължините на страните на наклонен триъгълник, както и намирането на измерванията на неговите ъгли, се нарича "резолюция на наклонените триъгълници".

Важен факт при работа с триъгълници е, че сумата от трите вътрешни ъгъла на триъгълника е равна на 180º. Това е общ резултат, следователно за наклонени триъгълници може също да се приложи.

Закони на гърдите и косинусите

Даден е триъгълник ABC със страни с дължина "a", "b" и "c":

- Законът на гърдите гласи, че a / sin (A) = b / sin (B) = c / sin (C), където A, B и C са противоположни ъгли към "a", "b" и "c" съответно.

- Законът на косинусите заявява, че: c² = a² + b² - 2ab * cos (C). Еквивалентно могат да се използват следните формули:

b² = a² + c² - 2ac * cos (B) или a² = b² + c² - 2bc * cos (A).

С помощта на тези формули можете да изчислите данните на триъгълник с наклонен ъгъл.

обучение

Ето някои упражнения, в които трябва да намерите липсващите данни на дадени триъгълници, от някои предоставени данни.

Първо упражнение

Като се има предвид триъгълник ABC, така че A = 45º, B = 60º и a = 12cm, изчислете другите данни на триъгълника.

разтвор

Използвайки, че сумата от вътрешните ъгли на триъгълника е равна на 180º, трябва да

С = 180 ° -45 ° -60 ° = 75 °.

Трите ъгли са вече известни. След това продължете да използвате закона на гърдите, за да изчислите двете страни, които липсват.

Посочените уравнения са 12 / sin (45º) = b / sin (60º) = c / sin (75º).

От първото равенство можете да изчистите "б" и да получите това

b = 12 * sin (60º) / sin (45º) = 6√6 ≈ 14,696cm.

Можете също да изчистите "c" и да получите това

c = 12 * sin (75º) / sin (45º) = 6 (1 + √3) ≈ 16,392cm.

Второ упражнение

Като се има предвид, че триъгълникът ABC е такъв, че A = 60º, C = 75º и b = 10cm, изчислете другите данни на триъгълника.

разтвор

Както и при предишното упражнение, B = 180º-60º-75º = 45º. Освен това, използвайки закона на гърдите е необходимо a / sin (60º) = 10 / sin (45º) = c / sin (75º), от което се получава, че a = 10 * sin (60º) / sin (45º) = 5√6 ≈ 12.247 cm и c = 10 * sin (75º) / sin (45º) = 5 (1 + √3) ≈ 13,660 cm.

Трето упражнение

Като се има предвид триъгълникът ABC, при който a = 10cm, b = 15cm и C = 80º, се изчисляват другите данни на триъгълника.

разтвор

В това упражнение е известен само един ъгъл, затова не можете да започнете, както сте направили в предишните две упражнения. Също така, законът на гърдите не може да бъде приложен, защото не може да се реши уравнение.

Затова продължаваме да прилагаме закона на косинусите. Тогава е това

c² = 10² + 15² - 2 (10) (15) cos (80º) = 325 - 300 * 0.173 ≈ 272 905 cm,

така че c ≈ 16.51 cm. Сега, знаейки трите страни, се използва законът за гърдите и вие получавате

10 / sin (A) = 15 / sin (B) = 16.51cm / sin (80º).

Оттук, при изчистването на В се получава без (B) = 15 * sin (80º) / 16.51 ≈ 0.894, което предполага, че B ≈ 63.38º.

Сега може да се получи, че А = 180º - 80º - 63.38º ≈ 36.62º.

Четвърто упражнение

Страните на наклонения триъгълник са a = 5cm, b = 3cm и c = 7cm. Изчислете ъглите на триъгълника.

разтвор

Отново законът на гърдите не може да бъде приложен директно, тъй като нито едно уравнение няма да служи за получаване на стойността на ъглите.

Използвайки закона на косинуса, имаме, че c² = a² + b² - 2ab cos (C), където когато се изчистим имаме, че cos (C) = (a² + b² - c²) / 2ab = (5² + 3²-7²) 2 х 5 * 3 = -15/30 = -1/2 и следователно С = 120 °.

Сега, ако можете да приложите закона на гърдите и да получите 5 / sin (A) = 3 / sin (B) = 7 / sin (120), където можете да изчистите B и да получите това без (B) = 3 * sin (120º) / 7 = 0.371, така че B = 21.79º.

Накрая последният ъгъл се изчислява, като се използва A = 180º-120º-21.79º = 38.21º.

препратки

1. Landaverde, F. d. (1997). геометрия (Reprint ed.). прогрес.
2. Leake, D. (2006). триъгълници (илюстриран ед.). Хайнеман-Рейнтрий.
3. Pérez, C. D. (2006). precalculus. Образование в Пиърсън.
4. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). геометрии. CR технология.
5. Съливан, М. (1997). precalculus. Образование в Пиърсън.
6. Съливан, М. (1997). Тригонометрия и аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.