Какви видове интеграли има?



на типове интеграли които намираме в изчислението са: неопределени интеграли и дефинирани интеграли. Въпреки че определените интеграли имат много повече приложения от неопределените интеграли, е необходимо първо да се научите да решавате неопределени интеграли..

Едно от най-привлекателните приложения на определени интеграли е изчисляването на обема на твърда революция.

И двата типа интеграли имат еднакви свойства на линейност, а също и техниките на интеграция не зависят от типа на интеграла.

Но въпреки че е много подобна, има основна разлика; в първия тип интеграл резултатът е функция (която не е специфична), докато във втория тип резултатът е число.

Две основни типа интеграли

Светът на интегралите е много широк, но в него можем да разграничим два основни типа интеграли, които имат голяма приложимост в ежедневието..

1 - Неопределени интеграли

Ако F '(x) = f (x) за всички x в областта на f, ще кажем, че F (x) е антидеривативна, примитивна или интегрална от f (x).

От друга страна, забележете, че (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), което означава, че интегралът на дадена функция не е уникален, тъй като даването на различни стойности на константата C ще доведе до различни вие antiderivatives.

Поради тази причина F (x) + C се нарича неопределен интеграл на f (x), а C се нарича интегрална константа и я пишем по следния начин:

Както можем да видим, неопределеният интеграл на функцията f (x) е семейство функции.

Например, ако искате да изчислите неопределения интеграл на функцията f (x) = 3x², първо трябва да намерите антидериватив на f (x).

Лесно е да се забележи, че F (x) = x³ е антидеривативна, тъй като F '(x) = 3x². Следователно може да се заключи, че

(F (x) dx = x3x²dx = x³ + C.

2 - Дефинирани интеграли

Нека y = f (x) е действителна функция, непрекъсната в затворен интервал [a, b] и F (x) е антидеривативна на f (x). Тя се нарича определен интеграл от f (x) между границите a и b до числото F (b) -F (a) и се обозначава както следва

Посочената по-горе формула е по-известна като "Основна теорема за смятане". Тук "a" се нарича долна граница, а "b" - горната граница. Както можете да видите, определеният интеграл на функция е число.

В този случай, ако се изчисли определен интеграл от f (x) = 3x² в интервала [0.3], ще се получи число..

За да определим това число, избираме F (x) = x³ като антидеривативна от f (x) = 3x². Тогава изчисляваме F (3) -F (0), което ни дава резултат 27-0 = 27. В заключение, определеният интеграл на f (x) в интервала [0.3] е 27.

Може да се подчертае, че ако се избере G (x) = x³ + 3, тогава G (x) е антидеривативна на f (x), различна от F (x), но това не влияе на резултата, тъй като G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Поради тази причина в дефинираните интеграли константата на интеграция не се появява.

Едно от най-полезните приложения, които този тип интеграл има, е, че той позволява да се изчисли площта (обема) на плоска фигура (на твърдо революция), установявайки подходящи функции и граници на интегриране (и ос на въртене).

В рамките на дефинираните интеграли можем да намерим различни разширения на това, като например линейни интеграли, повърхностни интеграли, неправилни интеграли, множество интеграли, наред с други, всички с много полезни приложения в науката и инженерството.

препратки

  1. Casteleiro, J. M. (2012). Лесно ли е да се интегрира? Самоук. Мадрид: ESIC.
  2. Casteleiro, J. M., & Gómez-Álvarez, R. P. (2002). Цялостно изчисление (Илюстриран ред.). Мадрид: ESIC редакция.
  3. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus Математика. Prentice Hall PTR.
  4. Fleming, W., & Varberg, D.E. (1989). Precalculus математика: подход за решаване на проблеми (2, Illustrated ed.). Мичиган: Prentice Hall.
  5. Kishan, H. (2005). Интегрално смятане. Издатели и дистрибутори на Atlantic.
  6. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). изчисление (Девето издание). Prentice Hall.