Технически техники за броене, приложения и примери

на техники за броене са серия от вероятностни методи за преброяване на възможния брой аранжименти в рамките на набор или няколко групи обекти. Те се използват при ръчно съставяне на сметките поради големия брой обекти и / или променливи.

Например, решението на този проблем е много просто: представете си, че шефът ви иска да преброите последните продукти, които са пристигнали през последния час. В този случай можете да прегледате продуктите един по един.

Представете си обаче, че проблемът е следният: шефът ви иска да преброите колко групи от 5 продукта от един и същи тип могат да се формират с тези, които са пристигнали през последния час. В този случай изчислението става сложно. Така наречените техники на броене се използват за този вид ситуация.  

Тези техники са няколко, но най-важните са разделени на два основни принципа, които са мултипликативни и добавъчни; пермутации и комбинации.

индекс

• 1 мултипликативен принцип
  • 1.1 Приложения
  • 1.2 Пример
• 2 Принцип на добавката 
  • 2.1 Приложения
  • 2.2 Пример
• 3 Пермутации
  • 3.1 Приложения
  • 3.2 Пример
• 4 комбинации
  • 4.1 Приложения
  • 4.2 Пример
• 5 Препратки 

Мултипликативен принцип

приложения

Мултипликативният принцип, заедно с добавката, са основни за разбиране на действието на техники за броене. В случая на мултипликативен, той се състои от следното:

Представете си активност, която включва определен брой етапи (общата сума е отбелязана като "r"), където първата стъпка може да бъде направена от N1 форми, втората стъпка на N2 и стъпка "r" от Nr форми. В този случай активността може да се извърши от броя на формите, получени в резултат на тази операция: N1 x N2 x ... .x Nr форми

Ето защо този принцип се нарича мултипликативен и предполага, че всяка една от стъпките, които са необходими за извършване на дейността, трябва да се извършва едно след друго.. 

пример

Нека си представим човек, който иска да построи училище. За да направите това, помислете, че основата на сградата може да бъде изградена по два различни начина - цимент или бетон. Що се отнася до стените, те могат да бъдат направени от кирпич, цимент или тухла.

Що се отнася до покрива, той може да бъде изработен от цимент или поцинкована ламарина. И накрая, окончателното рисуване може да се направи само по един начин. Въпросът, който възниква, е следният: колко начини трябва да изгради училището??

Първо, ще разгледаме броя на стъпалата, които ще бъдат основата, стените, покрива и картината. Общо 4 стъпки, така че r = 4.

Следното ще бъде изброяване на N:

N1 = начини за изграждане на база = 2

N2 = начини за изграждане на стените = 3

N3 = начини за направа на покрива = 2

N4 = начини за оцветяване = 1

Следователно броят на възможните форми ще бъде изчислен по формулата, описана по-горе: \ t

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 начина на завършване на училище.

Принцип на добавката

приложения

Този принцип е много прост и е, че в случай на съществуващи няколко алтернативи за извършване на една и съща дейност, възможните начини се състоят от сумата от различните възможни начини да се направят всички алтернативи.

С други думи, ако искаме да извършим дейност с три алтернативи, където първата алтернатива може да се направи в М форми, втората в N форми и последната в W форми, дейността може да бъде направена от: M + N + ... + W форми.

пример

Представете си, че този път човек, който иска да купи тенис ракета. За това тя има три марки, от които да избирате: Wilson, Babolat или Head.

Когато отива в магазина, вижда, че ракетата на Wilson може да бъде купена с дръжка от два различни размера, L2 или L3 в четири различни модела и може да бъде нанизана или без опъване..

Ракета Babolat, от друга страна, има три дръжки (L1, L2 и L3), има два различни модела и може да бъде нанизано или без опъване..

Ракетата Head, от друга страна, е само с една дръжка, L2, в два различни модела и само без опъване. Въпросът е: Колко начини този човек трябва да си купи ракета??

M = Брой начини за избор на ракета на Уилсън

N = Брой начини за избор на ракета Babolat

W = Брой начини за избор на рекет за главата

Ние правим мултипликационния принцип:

М = 2 х 4 х 2 = 16 форми

N = 3 х 2 х 2 = 12 форми

W = 1 х 2 х 1 = 2 форми

 M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 начина да изберете ракета.

За да знаете кога да използвате мултипликативния принцип и добавката, просто трябва да разгледате дали дейността има серия от стъпки, които трябва да се извършат, и ако има няколко алтернативи, добавката.

пермутации

приложения

За да се разбере какво е пермутация, е важно да се обясни какво е комбинация, за да се разграничат и да се знае кога да се използват..

Комбинацията би била подреждане на елементи, в които ние не се интересуваме от позицията, която всеки от тях заема.

Пермутацията, от друга страна, ще бъде подреждане на елементи, в които ние се интересуваме от позицията, която всеки от тях заема.

Нека дадем пример, за да разберем по-добре разликата.

пример

Представете си един клас с 35 ученика и със следните ситуации:

1. Учителят иска трима от неговите ученици да му помогнат да поддържа класът чист или да доставя материали на други ученици, когато има нужда от него.
2. Учителят иска да назначи делегати в класа (президент, асистент и финансист).

Решението ще бъде следното:

1. Представете си, че чрез гласуване Хуан, Мария и Лусия са избрани да почистят класа или да доставят материалите. Очевидно е, че сред 35-те възможни студенти могат да се формират и други групи от по трима души.

Трябва да си зададем въпроса: важно ли е реда или позицията, която всеки един от учениците заема по време на избора им??

Ако мислим за това, виждаме, че това наистина не е важно, тъй като групата ще се грижи за двете задачи еднакво. В този случай това е комбинация, тъй като не ни интересува позицията на елементите.

2. Сега си представете, че Джон е избран за президент, Мария като помощник и Люсия като финансова.

В този случай ще има ли значение поръчката? Отговорът е да, защото ако променим елементите, резултатът се променя. Тоест, ако вместо да поставим Хуан като президент, ние го поставяме като асистент, а Мария като президент, крайният резултат ще се промени. В този случай това е пермутация.

След като разликата бъде разбрана, ще получим формулите на пермутациите и комбинациите. Въпреки това, първо трябва да дефинираме термина "n!" (В факториал), тъй като той ще се използва в различните формули.

n! = към продукта от 1 до n.

n! 1 x 2 x 3 x 4 x ... x n

Използването му с реални числа:

10: 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 10 = 3,628,800

 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ... x 5 = 120

Формулата на промените ще бъде следната:

nPr = n! / (n-r)!

С него можем да разберем подредбата, където редът е важен, и където n елементи са различни.

комбинации

приложения

Както коментирахме по-рано, комбинациите са договорености, при които не ни интересува позицията на елементите.

Формулата му е следната:

nCr = n! / (n-r)! r!

пример

Ако има 14 студенти, които искат да се доброволчат за почистване на класната стая, колко почистващи групи може да се формира всяка група от 5 души??

Следователно решението е следното:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 групи

препратки

1. Джефри, R.C., Вероятност и изкуство на преценката, Cambridge University Press. (1992).
2. Уилям Фелер, "Въведение в теорията на вероятностите и нейните приложения.", (Том 1), 3-то издание, (1968), Wiley
3. Финети, Бруно де (1970). "Логически основи и измерване на субективната вероятност". Психологически акт.
4. Hogg, Robert V. Крейг, Алън; McKean, Joseph W. (2004). Въведение в математическата статистика (6-то изд.). Горна река на седлото: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) Науката за предположението: Доказателство и вероятност преди Паскал,Университетската преса на Джон Хопкинс.