Дял:
Исторически контекст на аналитичната геометрия
на Исторически фон на аналитичната геометрия те датират от 17-ти век, когато Пиер дьо Ферма и Рене Декарт определят основната си идея. Неговото изобретение следва модернизацията на алгебрата и алгебричната нотация на Франсоа Вите.
Това поле има своите основи в Древна Гърция, особено в творбите на Аполоний и Евклид, които имат голямо влияние в тази област на математиката..
Основната идея зад аналитичната геометрия е, че връзката между две променливи, така че една е функция на другата, определя крива.
Тази идея за първи път е разработена от Пиер дьо Ферма. Благодарение на тази съществена рамка Исак Нютон и Готфрид Лайбниц успяха да разработят изчисленията.
Френският философ Декарт също откри алгебричен подход към геометрията, очевидно сам. Работата на Декарт върху геометрията се появява в известната му книга Реч на метода.
В тази книга е посочено, че компасът и геометричните конструкции на правите ръбове включват добавянето, изваждането, умножението и квадратните корени..
Аналитичната геометрия представлява обединението на две важни традиции в математиката: геометрията като изследване на формата и аритметиката и алгебрата, които имат отношение към количеството или числата. Следователно аналитичната геометрия е изследване на областта на геометрията с помощта на координатни системи.
история
История на аналитичната геометрия
Връзката между геометрията и алгебрата се е развила през цялата история на математиката, въпреки че геометрията е достигнала по-ранна степен на зрялост..
Например гръцкият математик Евклид успя да организира много резултати в своята класическа книга Елементите.
Но именно древният грък Аполон от Перга предсказва развитието на аналитичната геометрия в книгата си коничен. Той определи конуса като пресечната точка между конус и равнина.
Използвайки резултатите от Евклид в подобни триъгълници и сушене на кръг, той открива връзка, дадена от разстоянията от всяка точка "Р" на конична до две перпендикулярни линии, главната ос на коничната и допирателната към крайната точка на оста. Аполоний използва тази връзка, за да изведе основните свойства на коник.
Последващото развитие на координатните системи в математиката се появява едва след като алгебрата са узрели благодарение на ислямските и индийските математици..
Докато ренесансовата геометрия не е била използвана за оправдаване на решения за алгебрични проблеми, но не е много, че алгебрата може да допринесе за геометрията.
Тази ситуация би се променила с приемането на удобна нотация за алгебрични отношения и развитието на концепцията за математическа функция, която сега е била възможна..
XVI век
В края на XVI век френският математик Франсоа Вите въвежда първата систематична алгебрична нотация, използвайки букви за представяне на числови величини, известни и неизвестни..
Той също така разработва мощни общи методи за работа на алгебрични изрази и решаване на алгебрични уравнения.
Благодарение на това математиците не бяха напълно зависими от геометрични фигури и геометрична интуиция за решаване на проблеми.
Дори някои математици започнаха да се отказват от стандартния геометричен начин на мислене, според който линейните променливи на дължини и квадрати съответстват на области, докато кубиката отговаря на обемите.
Първата стъпка бяха философът и математикът Рене Декарт и адвокатът и математикът Пиер дьо Ферма..
Основа на аналитичната геометрия
Декарт и Ферма независимо са основали аналитична геометрия през 1630-те години, като са възприели алгебрата Viète за изучаване на геометричните локуси..
Тези математици разбраха, че алгебрата е инструмент на голяма сила в геометрията и е изобретил това, което днес е известно като аналитична геометрия.
Напред, който направиха, бе да преодолеят Viète, използвайки букви, за да представят разстояния, които са променливи, а не фиксирани..
Декарт използва уравнения за изучаване на геометрично дефинирани криви и подчертава необходимостта от разглеждане на общите алгебрично-графични криви на полиномиалните уравнения в градусите "х" и "у"..
От своя страна, Ферма подчерта, че всяка връзка между координатите "x" и "и" определя крива.
Използвайки тези идеи, той преструктурира изявленията на Аполоний за алгебрични термини и възстанови някои от изгубените му творби..
Fermat посочва, че всяко квадратично уравнение в "x" и "y" може да бъде поставено в стандартната форма на една от коничните секции. Въпреки това, Ферма никога не публикува работата си по темата.
Благодарение на неговия напредък, това, което Архимед можеше да реши само с голяма трудност и за отделни случаи, Ферма и Декарт можеха да го решат бързо и за голям брой криви (познати сега като алгебрични криви).
Но неговите идеи са получили само общо приемане чрез усилията на други математици през втората половина на XVII век.
Математиците Франс ван Шуутен, Флоримон де Бон и Йохан де Вит помогнаха за разширяването на работата на Декартес и добавиха важни допълнителни материали.
влияние
В Англия Джон Уолис популяризира аналитичната геометрия. Той използва уравнения, за да дефинира коник и да извлече техните свойства. Въпреки че той използваше отрицателни координати, Исак Нютон използваше две наклонени оси, за да раздели равнината на четири квадранта..
Нютон и немският Готфрид Лайбниц революционизираха математиката в края на 17-ти век, като демонстрираха независимостта на изчисленията.
Нютон демонстрира важността на аналитичните методи в геометрията и нейната роля в смятането, когато твърди, че всеки куб (или всяка алгебрична крива от трета степен) има три или четири стандартни уравнения за подходящи координатни оси. С помощта на самия Нютон, шотландският математик Джон Стърлинг го доказал през 1717 година.
Аналитична геометрия на три и повече размери
Въпреки че и Декарт, и Ферма предлагат да се използват три координати за изследване на криви и повърхности в пространството, триизмерната аналитична геометрия се развива бавно до 1730 г..
Математиците Ойлер, Херман и Клеаут произвели общи уравнения за цилиндри, конуси и повърхности на революцията.
Например, Ойлер използва уравнения за преводи в пространството, за да трансформира общата квадратична повърхност, така че основните й оси съвпадат с координатните й оси..
Ойлер, Джоузеф-Луи Лагранж и Гаспард Монж направиха аналитична геометрия независимо от синтетичната геометрия (не аналитична).
препратки
- Развитието на аналитичната геометрия (2001). Възстановен от енциклопедия
- История на аналитичната геометрия (2015). Възстановен от maa.org
- Анализ (математика). Възстановен от britannica.com
- Аналитична геометрия. Възстановен от britannica.com
- Декарт и раждането на аналитичната геометрия. Възстановен от sciencedirect.com