Как да си вземем Пентагона?

на се изчислява площта на петоъгълник чрез метод, известен като триангулация, който може да се приложи към всеки полигон. Този метод се състои в разделянето на петоъгълника на няколко триъгълника.

След това се изчислява площта на всеки триъгълник и накрая се добавят всички намерени области. Резултатът ще бъде областта на петоъгълника.

Пентагонът може да бъде разделен на други геометрични форми, като например трапецовиден и триъгълник, подобно на фигурата отдясно.

Проблемът е, че дължината на основната основа и височината на трапеца не са лесни за изчисляване. Освен това трябва да изчислите височината на червения триъгълник.

Как да се изчисли площта на петоъгълник?

Общият метод за изчисляване на площта на петоъгълник е триангулация, но методът може да бъде директен или малко по-дълъг в зависимост от това дали петоъгълникът е редовен или не..

Зона на обикновен петоъгълник

Преди да изчислим площта е необходимо да знаем какво е апотема.

Апотема на редовен петоъгълник (правилен многоъгълник) е най-малкото разстояние от центъра на петоъгълника (полигон) до средата на едната страна на петоъгълника (многоъгълник).

С други думи, апотема е дължината на линейния сегмент, който преминава от центъра на петоъгълника до средата на една страна.

Помислете за обикновен петоъгълник така, че дължината на страните му е "L". За да изчислите апотема си, първо разделете централния ъгъл α между броя на страните, т.е. α = 360º / 5 = 72º.

Сега, като се използват тригонометричните съотношения, дължината на апотема се изчислява, както е показано на следното изображение.

Следователно, апотема има дължина L / 2 tan (36 °) = L / 1.45.

Когато правите триангулацията на петоъгълника, ще получите фигура като тази по-долу.

Петте триъгълника имат една и съща област (защото е обикновен петоъгълник). Следователно площта на петоъгълника е 5 пъти площта на триъгълника. Това е: площ на петоъгълник = 5 * (L * ap / 2).

Подменяйки стойността на апотема, получаваме, че площта е A = 1.72 * L².

Затова, за да изчислите площта на редовния петоъгълник, трябва само да знаете дължината на една страна.

Зона на неправилен петоъгълник

Тя започва от неправилен петоъгълник, така че дължините на страните му са L1, L2, L3, L4 и L5. В този случай apothem не може да се използва, както е използван преди.

След като направите триангулацията, ще получите фигура като следната:

Сега ще продължим да рисуваме и изчисляваме височините на тези 5 вътрешни триъгълника.

Тогава областите на вътрешните триъгълници са T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2 и T5 = L5 * h5 / 2.

Стойностите, съответстващи на h1, h2, h3, h4 и h5, са височините на всеки триъгълник, съответно.

Накрая площта на петоъгълника е сумата от тези 5 области. Това означава, че A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.

Както можете да видите, изчисляването на площта на нередовен петоъгълник е по-сложно от изчисляването на площта на нормален петоъгълник.

Определител на Гаус

Има и друг метод, чрез който можете да изчислите площта на всеки неправилен многоъгълник, известен като детерминанта на Гаус.

Този метод се състои в изчертаване на полигона в декартовата равнина, след което се изчисляват координатите на всеки връх.

Върховете са изброени обратно на часовниковата стрелка и, накрая, определени детерминанти се изчисляват, за да се получи най-накрая областта на въпросния многоъгълник.

препратки

1. Alexander, D.C., & Koeberlein, G. M. (2014). Елементарна геометрия за студенти. Cengage Learning.
2. Артър Гудман, Л. Х. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.
3. Лофрет, Е. Х. (2002). Книгата с таблици и формули / Книгата на таблиците за умножение и формули. любител.
4. Палмър, С. И., и Бибб, С. Ф. (1979). Практическа математика: аритметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и правило (препечатайте издание). Реверте.
5. Posamentier, A.S., & Bannister, R. L. (2014). Геометрия, нейните елементи и структура: второ издание. Куриерска корпорация.
6. Quintero, A.H., & Costas, N. (1994). геометрия. Редакцията, UPR.
7. Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). геометрии. Редакция Tecnologica de CR.
8. Тора, Ф. Б. (2013). Math. 1-ва дидактична единица ESO, том 1. Редакционен университетски клуб.
9. Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (s.f.). Математика (шеста година). EUNED.