Алгебрични производни (с примери)

на алгебрични производни те се състоят в изучаването на производната в конкретния случай на алгебричните функции. Произходът на понятието за производна е от древна Гърция. Развитието на това понятие е мотивирано от необходимостта да се решат два важни проблема - един във физиката, а другият - в математиката.

Във физиката производното решава проблема за определяне на моментната скорост на движещ се обект. В математиката можете да намерите допирателната към крива в дадена точка.

Въпреки че има много повече проблеми, които се решават с помощта на деривата, както и неговите обобщения, резултатите, които дойдоха след въвеждането на неговата концепция.

Пионерите на диференциалното смятане са Нютон и Лайбниц. Преди да дадем формална дефиниция, ние ще разработим идеята, от математическа и физическа гледна точка.

индекс

• 1 Производната като наклон на допирателната към крива
• 2 Производната като моментна скорост на движещ се обект
  • 2.1 Алгебрична функция
• 3 Правила за деривация
  • 3.1 Получава се от константа
  • 3.2 Производни на власт
  • 3.3 Извлича се от събиране и изваждане
  • 3.4 Производни на продукт
  • 3.5 Получено от коефициент
  • 3.6 Правило на веригата
• 4 Препратки

Производната като наклон на допирателната към крива

Да предположим, че графиката на функция y = f (x) е непрекъсната графика (без пикове или върхове или разделения) и A = (a, f (a)) е фиксирана точка върху нея. Искаме да намерим уравнението на допирателната към графиката на функцията f в точка А.

Вземете всяка друга точка P = (x, f (x)) на графиката, близо до точка А, и изтеглете сеансовата линия, която минава през A и P. Сеансната линия е линия, която разрязва графиката на кривата в една или повече точки.

За да получим тангенсната линия, която искаме, трябва само да изчислим наклона, защото вече имаме точка на линията: точка А.

Ако преместим точка P по графиката и я приближим по-близо до точка А, гореспоменатата сеансова линия ще се приближи до тангентата, която искаме да намерим. Като се вземе границата, когато "P се стреми към A", двете линии ще съвпаднат, следователно и неговите наклони.

Наклонът на сеансовата линия е зададен с

Да се ​​каже, че Р подхожда А е еквивалентно на това, че "х" се приближава до "а". По този начин наклонът на допирателната към графика на f в точка А ще бъде равен на:

Горният израз се обозначава с f '(а) и се дефинира като производна на функция f в точка "а". Тогава виждаме, че аналитично, производното на дадена функция в дадена точка е граница, но геометрично, това е наклонът на линията, допирателна към графиката на функцията в точката..

Сега ще видим това понятие от гледна точка на физиката. Ние ще достигнем до същия израз на предходната граница, макар и по различен начин, като постигнем единодушие на дефиницията.

Производната като моментна скорост на движещ се обект

Нека видим кратък пример за това какво означава незабавна скорост. Когато се каже, например, че една кола да достигне дестинация, е направила това със скорост от 100 км / ч, което означава, че за един час е изминал 100 км..

Това не означава непременно, че през целия час колата винаги е била на 100 км, скоростомерът на автомобила може в някои моменти да отбележи по-малко или повече. Ако имаше нужда да спре на светофара, скоростта в този момент беше 0 км. След един час обаче маршрутът е на 100 км.

Това е, което е известно като средна скорост и се дава от частното на изминатото разстояние между изминалото време, както току-що видяхме. Моментната скорост, от друга страна, е тази, която маркира иглата на скоростомера на автомобила в момент (определено време).

Нека да разгледаме това по-общо. Да предположим, че един обект се движи по линията и че това изместване е представено чрез уравнението s = f (t), където променливата t измерва времето и променливата s изместването, като се има предвид неговото начало в моментът t = 0, в който момент също е нула, т.е. f (0) = 0.

Тази функция f (t) е известна като функция на позицията.

Търси се израз за моментната скорост на обекта във фиксиран момент "а". На тази скорост ще го обозначим с V (a).

Нека бъде незабавно близо до момента "а". В интервала от време между "а" и "t" промяната на позицията на обекта се дава от f (t) -f (a).

Средната скорост в този интервал от време е:

Което е приближение на моментната скорост V (a). Това сближаване ще бъде по-добре, когато т се доближи до "а". следователно,

Забележете, че този израз е равен на този в предишния случай, но от друга гледна точка. Това е така нареченото производно на функция f в точка "а" и е означено с f '(a), както е посочено по-горе.

Отбележете, че ако направим промяната h = x-a, имаме, че когато "x" се стреми към "a", "h" има тенденция да е 0, а предишната граница се трансформира (еквивалентно) в:

И двата израза са еквивалентни, но понякога е по-добре да се използва един вместо друг, в зависимост от случая.

Производната на функция f след това се дефинира по-общо във всяка точка "х", принадлежаща към нейната област като

Най-обичайната нотация за представяне на производна на функция y = f (x) е тази, която току-що видяхме (f 'o и'). Друга широко използвана нотация е нотацията на Leibniz, представена като някое от следните изрази:

С оглед на факта, че дериватът е по същество граница, той може или не може да съществува, тъй като границите не винаги съществуват. Ако съществува, се казва, че въпросната функция е диференцируема в дадена точка.

Алгебрична функция

Алгебричната функция е комбинация от полиноми чрез суми, изваждания, продукти, коефициенти, правомощия и радикали..

Полиномът е израз на формата

P_п= a_пх^п+ за_N-1х^N-1+ за_н-2х^н-2+... + a₂х²+ за₁x + a₀

Където n е естествено число и всички a_аз, с i = 0,1, ..., n, са рационални числа и a_п. 0 В този случай се казва, че степента на този полином е n.

Следват примери за алгебрични функции:

Тук не са включени експоненциални, логаритмични и тригонометрични функции. Правилата за деривация, които ще видим по-долу, са валидни за функциите като цяло, но ние ще се ограничим и ще ги приложим в случая на алгебрични функции.

Правила за байпас

Получава се от константа

Той установява, че производната на константата е нула. Това означава, че ако f (x) = c, то f '(x) = 0. Например производното на константната функция 2 е равно на 0.

Получени от власт

Ако f (x) = x^п, тогава f '(x) = nx^N-1. Например производната на х³ Това е 3x². Като следствие от това получаваме, че производната на функцията на идентичността f (x) = x е f '(x) = 1x^1-1= x⁰= 1.

Друг пример е следният: f (x) = 1 / x², тогава f (x) = x^-2 и f '(x) = - 2x^-2-1= -2x^-3.

Това свойство също е валидно, защото корените са рационални сили и можете да приложите горното също и в този случай. Например производното на квадратен корен се дава от

Получава се от сума и изваждане

Ако f и g са диференцируеми функции в x, тогава сумата f + g също е различна и че (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

Аналогично, имаме, че (f-g) '(x) = f' (x) -g '(x). С други думи, производното на сума (изваждане) е сумата (или изваждането) на дериватите.

пример

Ако h (x) = x²+x-1, след това

h '(x) = (x²) + (x) '- (1)' = 2x + 1-0 = 2x + 1.

Получава се от продукт

Ако f и g са диференцируеми функции в x, тогава продуктът fg също е диференцируем в x и се изпълнява, че

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Като последица имаме, че ако c е константа и f е диференцируема функция в x, то cf също е диференцируема в x и (cf) '(x) = cf' (X)..

пример

Ако f (x) = 3x (x²+1), след това

f '(x) = (3x)' (x²+1) + (3x) (x²+1) '= 3 (x)' (x²+1) + 3x [(x²) '+ (1)']

= 3 (1) (x²+1) + 3x [(2x^2-1) +0] = 3 (x²+1) + 3x (2x) = 3x²+3 + 6x²

= 9x²+3.

Получено от коефициент

Ако f и g са диференцируеми в x и g (x), 0, то f / g също е диференцируемо в x, и е вярно, че

например: ако h (x) = x³/ (x²-5x), след това

h '(x) = [(x³) (x⁵-5x) - (x³) (x⁵-5x) '] / (x⁵-5х)²= [(3x²) (x⁵-5x) - (x³) (5x⁴-5)] / (x⁵-5х)².

Правило за веригата

Това правило позволява извеждането на състава на функциите. Той установява следното: ако y = f (u) е диференцируем в u, yu = g (x) е диференцируем в x, тогава съставната функция f (g (x)) е диференцируема в x, и е удовлетворено, че [f ( g (x))] '= f' (g (x)) g '(x).

Това означава, че производното на съставна функция е произведение на производната на външната функция (външна деривация) от деривата на вътрешната функция (вътрешна деривация).

пример

Ако f (x) = (x⁴-2x)³, след това

f '(x) = 3 (x⁴-2x)²(х⁴-2x) '= 3 (x⁴-2x)²(4x³-2).

Има и резултати, за да се изчисли дериватът на обратната на функция, както и генерализацията на деривати от по-висок ред. Заявленията са обширни. Сред тях се открояват полезностите им в проблемите на оптимизацията и на максималните и минималните функции.

препратки

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Диференциално изчисление. ITM.
2. Кабрера, В. М. (1997). Изчисление 4000. Редакция Progreso.
3. Castaño, H. F. (2005). Математика преди изчисление. Университет в Меделин.
4. Едуардо, Н. А. (2003). Въведение в изчислението. Прагови издания.
5. Източници, А. (2016). ОСНОВНА МАТЕМАТИКА. Въведение в изчислението. Lulu.com.
6. Purcell, E.J., Rigdon, S.E., & Varberg, D.E. (2007). изчисление. Образование в Пиърсън.
7. Saenz, J. (2005). Диференциално изчисление (Второ издание). Баркисимето: Хипотенуза.
8. Томас, Г. Б. и Уиър, М. Д. (2006). Изчисление: няколко променливи. Образование в Пиърсън.