Последователни деривати (с решени упражнения)

на последователни производни са производните на функция след втората производна. Процесът за изчисляване на последователните производни е следният: имаме функция f, която можем да извлечем и така да получим производната функция f '. На това производно на f можем да го извлечем отново, получавайки (f ')'..

Тази нова функция се нарича втора производна; всички производни, изчислени от втората, са последователни; Тези, наричани още по-висок ред, имат големи приложения, като например дават информация за графика на графиката на дадена функция, втория тест за деривати за относителни крайности и определянето на безкрайни серии..

индекс

• 1 Определение
  • 1.1 Пример 1
  • 1.2 Пример 2
• 2 Скорост и ускорение
  • 2.1 Пример 1
  • 2.2 Пример 2
• 3 Приложения
  • 3.1
  • 3.2 Пример
  • 3.3 Относителни цели
  • 3.4 Пример
  • 3.5 Серия Тейлър
  • 3.6 Пример
• 4 Препратки

дефиниция

Използвайки нотацията на Leibniz, имаме, че производното на функция "и" по отношение на "x" е dy / dx. За да изразим второто производно на "и", използвайки нотацията на Leibniz, пишем по следния начин:

Като цяло, можем да изразим последователните производни, както следва, с означението на Лайбниц, където п представлява реда на производната.

Други използвани обозначения са следните:

Някои примери, в които можем да видим различните нотации, са:

Пример 1

Получават се всички производни на функцията f, определена от:

Използвайки обичайните техники за деривация, имаме, че производното на f е:

Чрез повтаряне на процеса можем да получим втората производна, третата производна и т.н..

Отбележете, че четвъртата деривация е нула, а производното от нула е нула, така че трябва да:

Пример 2

Изчислява се четвъртото производно на следната функция:

Извличане на дадена функция, която имаме като резултат:

Скорост и ускорение

Една от мотивите, които доведоха до откриването на производното, беше търсенето на дефиницията за мигновена скорост. Формалното определение е следното:

Нека y = f (t) е функция, чиято графика описва траекторията на една частица в момент т, тогава скоростта му в момент t се определя от:

След като получи скоростта на дадена частица, можем да изчислим моментното ускорение, което се определя по следния начин:

Моментното ускорение на частица, чийто път е дадено от y = f (t), е:

Пример 1

Частицата се движи по линия в зависимост от функцията на позицията:

Където "y" се измерва в метри и "t" в секунди.

- В какъв момент скоростта ви е 0?

- В кой момент вашето ускорение е 0?

При извличане на функцията за позициониране "и" имаме, че нейната скорост и ускорение са дадени съответно чрез:

За да се отговори на първия въпрос, достатъчно е да се определи кога функцията v става нула; това е:

Продължаваме по следния начин по следния начин:

Пример 2

Частицата се движи по линията в съответствие със следното уравнение на движение:

Определете "t, y" и "v", когато a = 0.

Знаейки, че скоростта и ускорението са дадени от

Продължаваме да извличаме и получаваме:

Като правим a = 0, имаме:

От което можем да заключим, че стойността на t за a е равна на нула е t = 1.

Тогава, оценявайки функцията на позицията и функцията за скорост при t = 1, трябва да:

приложения

Дефиниране с умножение

Последователните производни могат също да бъдат получени чрез имплицитно деривация.

пример

Като се има предвид следната елипса, намерете „и“:

Получавайки имплицитно по отношение на x, имаме:

Тогава, чрез повторно извличане на неясно по отношение на x, то ни дава:

И накрая, имаме:

Относителни краища

Друга употреба, която можем да дадем на производни от втори ред, е в изчисляването на относителните краища на дадена функция.

Критерият на първото производно за локални екстремуми ни казва, че ако имаме функция f непрекъсната в диапазон (а, Ь) и съществува c, който принадлежи на този интервал, така че f 'се анулира в c (т.е. е критична точка), може да възникне един от тези три случая:

- Ако f '(x)> 0 за всеки x, принадлежащ към (a, c) и f' (x)<0 para x perteneciente a (c,b), entonces f(c) es un máximo local.

- Ако f '(x) < 0 para cualquier x perteneciente a (a,c) y f'(x)>0 за x, принадлежащи към (c, b), то f (c) е локален минимум.

- Ако f '(x) има същия знак в (a, c) и в (c, b), то означава, че f (c) не е локална крайна точка.

Използвайки критерия на второто производно, можем да знаем дали критичният брой на функция е максимален или локален минимум, без да се налага да виждате какъв е знакът на функцията в гореспоменатите интервали..

Критерият на второто деривация ни казва, че ако f '(c) = 0 и че f "(x) е непрекъснато в (a, b), се случва, че ако f" (c)> 0, то f (c) е местен минимум и ако f "(в) < 0 entonces f(c) es un máximo local.

Ако f "(c) = 0, не можем да заключим нищо.

пример

Като се има предвид функцията f (x) = x⁴ + (4/3) x³ - 4x², намери относителните максимуми и минимуми на f, прилагайки критерия за втората производна.

Първо изчисляваме f '(x) и f "(x) и имаме:

f '(x) = 4x³ + 4x² - 8x

f "(x) = 12x² + 8x - 8

Сега, f '(x) = 0, ако и само ако 4x (x + 2) (x - 1) = 0, и това се случва, когато x = 0, x = 1 или x = - 2.

За да се определи дали получените критични числа са относителни крайности, достатъчно е да се оцени в f ”и по този начин да се наблюдава неговия знак.

f "(0) = - 8, така че f (0) е локален максимум.

f "(1) = 12, така че f (1) е локален минимум.

f "(- 2) = 24, така че f (- 2) е локален минимум.

Серия Тейлър

Нека f е функция, дефинирана както следва:

Тази функция има радиус на сближаване R> 0 и има производни на всички поръчки в (-R, R). Последователните производни на f ни дават:

Като се вземе x = 0, можем да получим стойностите на c_п въз основа на неговите производни, както следва:

Ако приемем n = 0 като функция f (т.е. f ^ 0 = f), тогава можем да пренапишем функцията както следва:

Сега разгледаме функцията като поредица от сили в x = a:

Ако извършим аналогичен анализ на предишния, ще трябва да напишем функцията f като:

Тези серии са известни като Тейлорови серии от f в a. Когато а = 0 имаме конкретния случай, който се нарича серия Макларин. Този тип серия е от голямо математическо значение, особено при числения анализ, тъй като благодарение на тях можем да дефинираме функции в компютри като^х , sin (x) и cos (x).

пример

Получете серията Макларин за e^х.

Отбележете, че ако f (x) = e^х, след това f^(N)(x) = e^х и f^(N)(0) = 1, поради което неговата серия Макларин е:

препратки

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (s.f.). 5е изчисление. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). ИЗЧИСЛЯВАНЕ с аналитична геометрия. HARLA, S.A..
3. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). изчисление. Мексико: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Диференциално изчисление. хипотенуза.
5. Saenz, J. (s.f.). Цялостно изчисление. хипотенуза.