Части и примери за частични фракции



на частични фракции те са фракции, образувани от полиноми, в които знаменателят може да бъде линеен или квадратичен полином и освен това може да бъде увеличен до някаква сила. Понякога, когато имаме рационални функции, е много полезно да пренапишем тази функция като сума от частични фракции или прости фракции.

Това е така, защото по този начин можем да манипулираме тези функции по-добре, особено в случаите, в които е необходимо да се интегрира това приложение. Рационалната функция е просто частното между два полинома и може да бъде правилно или неправилно.

Ако степента на полинома на числителя е по-малка от знаменателя, тя се нарича своя собствена рационална функция; в противен случай тя е известна като неправилна рационална функция.

индекс

  • 1 Определение
  • 2 Случаи
    • 2.1 Случай 1
    • 2.2 Случай 2
    • 2.3 Случай 3
    • 2.4 Случай 4
  • 3 Приложения
    • 3.1 Изчерпателно изчисление
    • 3.2 Закон за масовото действие
    • 3.3 Диференциални уравнения: логистично уравнение
  • 4 Препратки

дефиниция

Когато имаме неправилна рационална функция, можем да разделим полинома на числителя между полинома на знаменателя и по този начин да пренапишем фракцията p (x) / q (x), следвайки алгоритъма на делението като t (x) + s (x) / q (x), където t (x) е полином и s (x) / q (x) е рационална функция.

Частичната част е всяка правилна функция на полиноми, чийто знаменател е от вида (ax + b)п o (брадва2+ bx + c)п, ако полиномът брадва2 + bx + c няма реални корени и n е естествено число.

За да се пренапише рационалната функция в частичните фракции, първото нещо, което трябва да се направи, е да се определи знаменателят q (x) като произведение на линейни и / или квадратични фактори. След това се определят частични фракции, които зависят от естеството на споменатите фактори.

случаи

Разглеждаме няколко случая поотделно.

Случай 1

Факторите на q (x) са линейни и никой не се повтаря. Това е:

q (x) = (a1x + b1) (a2x + b2) ... (aитеx + bите)

Там линеен фактор не е идентичен с друг. Когато възникне този случай, ще напишем:

p (x) / q (x) = A1/ a1x + b1) + A2/ a2x + b2) ... + Aите/ aитеx + bите).

Където A1,А2,..., Aите са константи, които искате да намерите.

пример

Искаме да разложим рационалната функция на прости фракции:

(x - 1) / (x3+3x2+2x)

Продължаваме да факторизираме знаменателя, а именно:

х3 + 3x2 + 2x = x (x + 1) (x + 2)

след това:

(x - 1) / (x3+3x2+2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Прилагайки най-малко общо няколко, можете да получите това:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Искаме да получим стойностите на константите A, B и C, които могат да бъдат намерени чрез замяна на корените, които отменят всеки от термините. Заменяйки 0 за x, имаме:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2А

A = - 1/2.

Заменяйки - 1 за x имаме:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + Б (- 1 + 2) (- 1) + В (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Заменяйки - 2 за x имаме:

- 2 - 1 = А (- 2 + 1) (- 2 + 2) + Б (- 2 + 2) (- 2) + В (- 2 + 1) (- 2).

-3 = 2 ° С

С = -3/2.

По този начин се получават стойностите А = -1/2, В = 2 и С = -3/2..

Има друг метод за получаване на стойностите на A, B и C. Ако от дясната страна на уравнението x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x +) 1) x комбинираме термини, имаме:

x - 1 = (A + B + C) x2 + (3А + 2В + С) х + 2А.

Тъй като това е равенство на полиноми, имаме, че коефициентите на лявата страна трябва да са равни на тези на дясната страна. Това води до следната система от уравнения:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

При решаването на тази система от уравнения се получават резултатите A = -1/2, B = 2 и C = -3/2.

Накрая, замествайки получените стойности, трябва да:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Случай 2

Факторите на q (x) са линейни, а някои се повтарят. Да предположим, че (ax + b) е фактор, който се повтаря "s" пъти; тогава към този фактор съответстват сумата на "s" частичните фракции.

Аите/ (ax + b)ите + АS-1/ (ax + b)S-1 +... + A1/ (ax + b).

Където Aите,АS-1,..., A1 те са константи, които трябва да бъдат определени. В следващия пример ще покажем как да определим тези константи.

пример

Разлага се на частични части:

(x - 1) / (x2(x - 2)3)

Записваме рационалната функция като сума от частични фракции, както следва:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = A / x2 + B / x + C / (x - 2)3 + D / (x - 2)2 + Е / (х - 2).

след това:

x - 1 = A (x - 2)3 + B (x - 2)3x + Cx2 + D (x - 2) x2 + E (x - 2)2х2

Заменяйки 2 за x, трябва да:

7 = 4С, т.е. С = 7/4.

Заменяйки 0 за x, имаме:

- 1 = -8А или А = 1/8.

Заменяйки тези стойности в предишното уравнение и развивайки се, трябва да:

x - 1 = 1/8 (x3 - 6x2 + 12x - 8) + Bx (x3 - 6x2 + 12x - 8) + 7 / 4x2 +Dx3 - 2Dx2 + бивш2(х2 - 4x + 4)

x - 1 = (В + Е) х4 + (1/8 - 6B + D - 4E) х3 + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x2 +(3/2 - 8B) x - 1.

Чрез съвпадение на коефициенти получаваме следната система от уравнения:

В + Е = 0;

1/8 - 6B + D - 4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Решавайки системата, имаме:

В = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

Поради това трябва да:

(x - 1) / (x2(x - 2)3) = (1/8) / x2 + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2)3 + (5/4) / (x - 2)2 - (3/16) / (x - 2).

Случай 3

Факторите на q (x) са квадратични линейни, без да се повтаря квадратичен фактор. В този случай квадратичният фактор (брадва2 + bx + c) съответства на частичната част (Ax + B) / (ax)2 + bx + c), където константите A и B са онези, които искате да определите.

Следният пример показва как да се процедира в този случай

пример

Разлага се на прости фракции a (x + 1) / (x3 - 1).

Първо се пристъпи към фактор на знаменателя, който ни дава като резултат:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Можем да видим, че (х2 + x + 1) е неприводим квадратичен полином; това означава, че няма истински корени. Неговото разлагане на частични фракции ще бъде както следва:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x2 + x +1)

От това получаваме следното уравнение:

х + 1 = (А + В) х2 +(A - B + C) x + (A - C)

Използвайки равенството на полиноми, получаваме следната система:

А + В = 0;

А - В + С = 1;

А - С = 1;

От тази система имаме A = 2/3, B = - 2/3 и C = 1/3. Заменяйки, трябва да:

(x + 1) / (x - 1) (x2 + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x2 + x +1).

Случай 4

И накрая, случай 4 е този, в който факторите на q (x) са линейни и квадратични, където някои от линейните квадратични фактори се повтарят.

В този случай, да (брадва2 + bx + c) е квадратичен фактор, който се повтаря "s" пъти, след което частичната част съответства на фактора (ax)2 + bx + c) ще бъде:

(А1x + B) / (брадва2 + bx + c) + ... + (AS-1x + BS-1) / (брадва)2 + bx + c)S-1 + (Аитеx + Bите) / (брадва)2 + bx + c)ите

Където Aите, АS-1,..., А и Бите, BS-1,..., B са константи, които искате да определите.

пример

Искаме да разделим следната рационална функция на частични фракции:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2)

Подобно на x2 - 4x + 5 е неприводим квадратичен фактор, имаме, че неговото разлагане на частични части е дадено от:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2= A / x + (Bx + C) / (x2 - 4x + 5) + (Dx + E) / (x2 - 4x + 5)2

Опростявайки и развивайки се, имаме:

x - 2 = A (x2 - 4x + 5)2 + (Bx + C) (х2 - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x4 + (-8А-4В + С) х3 + (26А + 5В - 4С + D) х2 + (- 40А + 5С + Е) х + 25А.

От горното имаме следната система от уравнения:

А + В = 0;

- 8А - 4В + С = 0;

26А + 5В - 4С + D = 0;

- 40А + 5С + Е = 1;

25А = 2.

Когато решаваме системата, трябва да:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 и E = - 3/5.

При замяна на получените стойности имаме:

(x - 2) / (x (x2 - 4x + 5)2) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (х2 - 4x + 5) + (2x - 3) / 5 (х2 - 4x + 5)2

приложения

Цялостно изчисление

Частичните фракции се използват главно за изследване на интегрално смятане. По-долу ще видим някои примери за това как да направим интеграли, използвайки частични фракции.

Пример 1

Искаме да изчислим интеграла на:

Можем да видим, че знаменателят q (x) = (t + 2)2(t + 1) се състои от линейни фактори, където едно от тези повторения; за това сме в случай 2.

Трябва:

1 / (t + 2)2(t + 1) = A / (t + 2)2 +B / (t + 2) + C / (t + 1)

Пренаписваме уравнението и имаме:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2)2

Ако t = - 1, трябва да:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = С

Ако t = - 2, то ни дава:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

А = - 1

Тогава, ако t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Заменяйки стойностите на А и С:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2В

2B = - 2

От горното имаме, че B = - 1.

Пренаписваме интеграла като:

Продължаваме да го решаваме по метода на заместване:

Това води до:

Пример 2

Решете следния интеграл:

В този случай можем да факторираме до q (x) = x2 - 4 като q (x) = (x - 2) (x + 2). Очевидно сме в случай 1. Следователно:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Тя може да се изрази и като:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Ако x = - 2, имаме:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

А ако x = 2:

8 = A (4) + B (0)

А = 2

По този начин трябва да решим дадения интеграл, който е еквивалентен за решаване:

Това ни дава като резултат:

Пример 3

Решете интеграла:

Имаме q (x) = 9x4 + х2 , че можем да факторираме в q (x) = x2(9x2 + 1).

По този повод имаме повтарящ се линеен фактор и квадратичен фактор; това е, ние сме в случай 3.

Трябва:

1 / x2(9x2 + 1) = A / x2 + В / х + (Cx + D) / (9х2 + 1)

1 = А (9х2 + 1) + Bx (9x2 + 1) + Cx2 + Dx2

Групирайки и използвайки равенство на полиноми, имаме:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

А = 1;

В = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

От тази система от уравнения трябва да:

D = - 9 и C = 0

По този начин имаме:

Като решим горното, имаме:

Закон за масово действие

Интересно приложение на частичните фракции, приложени към интегралното смятане, се намира в химията, по-точно в закона за масовото действие.

Да предположим, че имаме две вещества, А и В, които се събират и образуват вещество С, така че производното на количеството на С по отношение на времето е пропорционално на произведението на количествата А и В във всеки даден момент..

Можем да изразим закона за масовото действие, както следва:

В този израз α е първоначалното количество грамове, съответстващо на A и β, първоначалното количество грамове, съответстващо на B.

В допълнение, r и s представляват броя грамове А и В съответно, които се комбинират, за да образуват r + s грамове от C. За негова част, x представлява броят на грамове от веществото С по време t, и К е постоянна пропорционалност. Горното уравнение може да бъде пренаписано като:

Извършване на следната промяна:

Имаме, че уравнението става:

От този израз можем да получим:

Където да a ≠ b, частични части могат да се използват за интеграция.

пример

Да вземем за пример вещество С, което произтича от комбиниране на вещество А с В, по такъв начин, че законът на масите да бъде изпълнен, когато стойностите на a и b са съответно 8 и 6. Дайте уравнение, което ни дава стойността на грамове C като функция на времето.

Подменяйки стойностите в дадения масов закон, имаме:

Когато разделяме променливите, имаме:

Тук 1 / (8 - x) (6 - x) може да бъде записано като сума от частични части, както следва:

По този начин 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Ако заменим x за 6, имаме, че B = 1/2; и замествайки x за 8, имаме A = - 1/2.

Интегриране чрез частични фракции:

Това ни дава като резултат:

Диференциални уравнения: логистично уравнение

Друго приложение, което може да се даде на частични фракции е в логистичното диференциално уравнение. В простите модели имаме, че темпът на растеж на населението е пропорционален на неговия размер; което е:

Този случай е идеален и се счита за реалистичен, докато се случи, че наличните ресурси в една система са недостатъчни за поддържане на населението.

В тези ситуации е по-разумно да се мисли, че има максимален капацитет, който ще наричаме L, който системата може да издържи, и че темпът на растеж е пропорционален на размера на популацията, умножена по наличния размер. Този аргумент води до следното диференциално уравнение:

Този израз се нарича логистично диференциално уравнение. Това е отделимо диференциално уравнение, което може да бъде решено с метода на интегриране чрез частични фракции.

пример

Пример за това е да се вземе предвид популацията, която расте съгласно следното логистично диференциално уравнение y '= 0,0004y (1000 - y), чиито начални данни са 400. Искаме да знаем размера на популацията в момент t = 2, където t се измерва в години.

Ако напишем a и 'с означението на Leibniz като функция, която зависи от t, трябва да:

Интегралът от лявата страна може да бъде решен с помощта на метода на интегриране чрез частични фракции:

Последното равенство може да бъде пренаписано както следва:

- Подмяната на y = 0 имаме A равна на 1/1000.

- Подмяната на y = 1000 има, че B е равна на 1/1000.

При тези стойности интегралът остава както следва:

Решението е:

Използване на първоначалните данни:

При изчистване и оставаме:

Тогава имаме това при t = 2:

В заключение след 2 години размерът на популацията е приблизително 597,37.

препратки

  1. A, R. A. (2012). Математика 1. Университет на Андите. Съвет за публикации.
  2. Cortez, I., & Sanchez, C. (s.f.). 801 разрешени интеграла. Национален експериментален университет в Тачира.
  3. Leithold, L. (1992). ИЗЧИСЛЯВАНЕ с аналитична геометрия. HARLA, S.A..
  4. Purcell, E.J., Varberg, D., & Rigdon, S.E. (2007). изчисление. Мексико: Pearson Education.
  5. Saenz, J. (s.f.). Цялостно изчисление. хипотенуза.