Закони на Морган

Лочите на Морган те са правила за извод, използвани в логиката на предложението, които установяват това, което е резултат от отричане на дизюнкция и конюнкция на предложения или про-позиционни променливи. Тези закони са дефинирани от математика Август Де Морган.

Законите на Морган представляват много полезен инструмент за демонстриране на валидността на математическото разсъждение. По-късно те са обобщени в концепцията за множествата от математика Джордж Бул.

Това обобщение, направено от Boole, е напълно еквивалентно на първоначалните закони на Morgan, но е разработено специално за множества, отколкото за предложения. Това обобщение е известно още като законите на Морган.

индекс

• 1 Преглед на логиката на предложението
  • 1.1
  • 1.2 Предложения
• 2 Законите на Морган
  • 2.1 Демонстрация
• 3 Комплекти
  • 3.1 Съюз, пресичане и допълнения на множества
• 4 Законите на Морган за комплекти
• 5 Препратки

Преглед на логиката на предложението

Преди да разгледаме какви са законите на Морган и как те се използват, е удобно да си спомним някои основни понятия от логиката на предложението. (За повече подробности вижте статията на предложението).

В областта на математическата (или предложената) логика изводът е извод, който се излъчва от набор от предпоставки или хипотези. Това заключение, заедно с споменатите предпоставки, води до това, което е известно като математическо разсъждение.

Това разсъждение трябва да може да бъде демонстрирано или отхвърлено; тоест, че не всички изводи или заключения в математическото разсъждение са валидни.

заблуда

Погрешното заключение, излъчвано от някои предположения, за които се приема, че е вярно, е известно като заблуда. Грешките имат особеността да бъдат аргументи, които изглеждат правилни, но математически не са.

Пропозитивната логика отговаря за точното разработване и предоставяне на методи, чрез които човек може, без никаква двусмисленост, да потвърди или опровергае математическо разсъждение; това означава, че заключението е валидно от помещенията. Тези методи са известни като правила на извод, от които законите на Морган са част.

предложения

Основните елементи на логиката на предложението са твърдения. Предложения са изявления, за които може да се каже дали са валидни или не, но че те не могат да бъдат верни или фалшиви едновременно. Не трябва да има неясноти по този въпрос.

Както числата могат да бъдат комбинирани чрез операции по събиране, изваждане, умножение и деление, предложенията могат да се управляват с помощта на познатата съединителна (или съединителна) логика: отрицание (¬, "не"), дизюнкция (V) , "O"), връзка ("," и "), условна (→," ако ..., след това ... ") и биконкурентна (↔," да, и само ако ").

За да работим по-общо, вместо да разглеждаме конкретни предложения, ние разглеждаме променливите, които представляват всякакви предложения, и обикновено се обозначават с малки букви p, q, r, s и т.н..

Предложениената формула е комбинация от пропорционални променливи чрез някаква логическа връзка. С други думи, това е състав на предложения. Те обикновено се обозначават с гръцки букви.

Казано е, че една формулировка на предложението логически предполага друго, когато последното е вярно всеки път, когато първата е вярна. Това се обозначава с:

Когато логическата импликация между две формулировки е реципрочна - когато предишното значение е валидно и в обратната посока - се казва, че формули са логически еквивалентни и се обозначава с

Логическата еквивалентност е един вид равенство между формулираните предложения и позволява да се замени един за друг, когато е необходимо.

Закони на Морган

Законите на Морган се състоят от две логически еквивалентности между две предложения:

Тези закони позволяват да се раздели отрицанието на дизюнкцията или конюнкцията като отрицания на участващите променливи.

Първият може да се чете по следния начин: отрицанието на дизюнкция е равно на конюнкцията на отрицанията. А втората чете така: отрицанието на конюнкцията е разкъсване на отрицанията.

С други думи, да се отрече дизюнкцията на две пропорционални променливи е еквивалентна на конюнкцията на отрицанията на двете променливи. По същия начин, да се отрече конюнкцията на две пропорционални променливи е еквивалентна на дизюнкцията на отрицанията на двете променливи..

Както бе споменато по-рано, заместването на тази логическа еквивалентност помага да се демонстрират важни резултати, заедно с другите съществуващи правила за извеждане. С тях можете да опростите много формули, така че те да са по-полезни за работа.

Следното е пример за математическо доказателство, използващо правила на извод, сред законите на Морган. По-конкретно е показано, че формулата:

е еквивалентно на:

Последното е по-просто за разбиране и развитие.

шоу

Заслужава да се отбележи, че валидността на законите на Морган може да бъде демонстрирана математически. Един от начините е да сравните вашите таблици с истини.

комплекти

Същите правила за извеждане и понятията за логика, приложени към предложения, също могат да бъдат разработени по отношение на множества. Това е така наречената булева алгебра, след математиката Джордж Бул.

За да се разграничат случаите, е необходимо да се променят нотациите и прехвърлянето към множества, всички вече разбрани понятия от пропозиционалната логика.

Наборът е колекция от обекти. Сетките се обозначават с главни букви A, B, C, X, ... и елементите на множеството се обозначават с малки букви a, b, c, x и др. Когато елемент a принадлежи на набор X, той се обозначава с:

Когато не принадлежи на X, нотацията е:

Начинът за представяне на множествата е поставянето на техните елементи в ключовете. Например, наборът от естествени числа се представя чрез:

Комплектите също могат да бъдат представени без изричен списък на техните елементи. Те могат да бъдат изразени във формата :. Двете точки се четат "така, че". Променлива, представляваща елементите на множеството, се поставя отляво на двете точки, а собствеността или условието, което те удовлетворяват, се поставят от дясната страна. Това е:

Например наборът от числа по-големи от -4 може да се изрази като:

Или еквивалентно и по-съкратено, като:

По същия начин следните изрази представляват съответно наборите от четни и нечетни числа:

Съюз, пресичане и допълнения на множества

След това ще видим аналозите на логическата връзка в случая на множества, които са част от основните операции между множествата.

Съюз и пресичане

Съединението и пресечната точка на множествата са дефинирани съответно по следния начин:

Например разгледайте множествата:

След това трябва да:

допълнение

Допълнението на множеството се формира от елементите, които не принадлежат към този набор (от същия тип, който представлява оригиналът). Допълнението на множеството А се обозначава с:

Например, в рамките на естествените числа, допълнението на множеството от четни числа е това на нечетните числа и обратно.

За да се определи допълването на множеството, от самото начало трябва да се изясни универсалният или основният набор от елементи, които се разглеждат. Например, не е равносилно да се разглежда допълването на множеството върху естествените числа, които са на рационалните.

Следващата таблица показва връзката или аналогията, която съществува между операциите по предварително дефинирани множества и съединителните елементи на логиката на предложението:

Законите на Морган за комплекти

И накрая, законите на Морган за множествата са:

С думи: допълването на един съюз е пресечната точка на допълненията, а допълнението на пресечната точка е обединението на допълненията..

Математическо доказателство за първото равенство е следното:

Демонстрацията на втората е аналогична.

препратки

1. Алмагер, Г. (2002). Математика 1. Редакция Лимус.
2. Aylwin, C. U. (2011). Логика, комплекти и числа. Мерида - Венецуела: Съвет за публикации, Универсидад де Лос Андес.
3. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Въведение в теорията на числата. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Основен курс по теория на числата. Университет на Севера.
5. Cofré, A., & Tapia, L. (1995). Как да разработим математическа логическа логика. Университетска редакция.
6. Guevara, М. H. (s.f.). Теория на числата. EUNED.
7. Zaragoza, A.C. (s.f.). Теория на числата. Книги за редакционна визия.