Паралелепипедни характеристики, видове, площ, обем

а паралелепипед е геометрично тяло, образувано от шест лица, чиято основна характеристика е, че всичките им лица са успоредни, а противоположните им лица са успоредни една на друга. Той е общ полиедър в нашето ежедневие, тъй като можем да го намерим в кутии за обувки, формата на тухла, формата на микровълнова печка и др..

Като полиедър паралелепипедът обхваща ограничен обем и всичките му лица са плоски. Тя е част от групата на призмите, които са тези полиедри, в които всичките им върхове се съдържат в две паралелни равнини..

индекс

• 1 Елементи на паралелепипеда
  • 1.1 Лица
  • 1.2 Ръбове
  • 1.3 Вертекс
  • 1.4 Диагонал
  • 1.5 Център
• 2 Характеристики на паралелепипеда
• 3 вида
  • 3.1 Изчисляване на диагонали
• 4 Район
  • 4.1 Площ на ортоедър
  • 4.2 Площ на куб
  • 4.3. Площ на ромбодър
  • 4.4. Площ на ромбичен
• 5 Обем на паралелепипед
  • 5.1 Перфектен паралелепипед
• 6 Библиография

Елементи на паралелепипеда

Караш

Те са всяка от областите, образувани от паралелограми, които ограничават паралелепипеда. Паралелепипедът има шест лица, където всяко лице има четири съседни лица и едно срещуположно. Освен това, всяка страна е паралелна с противоположната.

Aristas

Те са общата страна на две лица. Като цяло паралелепипед има дванадесет ръба.

връх

Това е общата точка на три лица, които са съседни един на друг два към две. Паралелепипед има осем върха.

диагонал

Като се имат предвид две противоположни страни на паралелепипед, можем да начертаем линеен сегмент, който преминава от върха на едно лице към противоположния връх на другия.

Този сегмент е известен като диагонал на паралелепипеда. Всеки паралелепипед има четири диагонали.

център

Това е точката, в която се пресичат всички диагонали.

Характеристики на паралелепипеда

Както споменахме, това геометрично тяло има дванадесет ръба, шест лица и осем върха.

В паралелепипед можете да идентифицирате три комплекта, образувани от четири ръба, които са успоредни една на друга. Освен това, ръбовете на тези комплекти изпълняват също и свойствата на същата дължина.

Друго свойство, което притежават паралелепипедите, е че те са изпъкнали, т.е. ако вземем всяка двойка точки, принадлежащи към вътрешността на паралелепипеда, сегментът, определен от споменатата двойка точки, също ще бъде вътре в паралелепипеда..

В допълнение, паралелепипедите, които са изпъкнали полиедри, отговарят на теоремата на Ейлер за полиедрите, което ни дава връзка между броя на лицата, броя на ръбовете и броя на върховете. Тази връзка е дадена под формата на следното уравнение:

C + V = A + 2

Тази характеристика е известна като характеристика на Ойлер.

Където C е броят на лицата, V броят на върховете и А броят на ръбовете.

тип

Можем да класифицираме паралелепипеди въз основа на техните лица, в следните типове:

кубовиден

Те са паралелепипедите, където лицата им са оформени от шест правоъгълника. Всеки правоъгълник е перпендикулярна на тези, които споделят ръба. Те са най-често срещаните в ежедневието ни, като това е обичайният начин за кутии за обувки и тухли.

Куб или правилен хексаедър

Това е частен случай на предходната, където всяка от лицата е квадратна.

Кубът също е част от геометричните тела, наречени платонични твърди тела. Платоновото твърдо вещество е изпъкнал полиедър, така че и двете му лица и вътрешните ъгълчета са еднакви.

romboedro

Това е паралелепипед с диаманти на лицето си. Всички тези диаманти са еднакви, тъй като споделят ръбове.

Romboiedro

Шестте й лица са ромбоиди. Припомнете си, че ромбоидът е многоъгълник с четири страни и четири ъгъла, които са равни на две към две. Ромбоидите са паралелограми, които не са нито квадратни, нито правоъгълници, нито ромбове.

От друга страна, наклонените паралелепипеди са тези, при които поне една височина не е в съответствие с нейния ръб. В тази класификация можем да включим ромбоедрите и ромбичедрите.

Диагонално изчисление

За изчисляване на диагонал на ортоедър можем да използваме Питагоровата теорема за R³.

Припомнете си, че един ортоедър има характеристиката, че всяка страна е перпендикулярна на страните, които споделят ръба. От този факт можем да заключим, че всеки ръб е перпендикулярно на тези, които споделят върха.

За да изчислим дължината на диагонал на ортоедър, следваме следното:

1. Изчисляваме диагонала на една от лицата, която ще поставим като база. За това използваме Питагоровата теорема. Назовете диагонала d_б.

2. След това с d_б можем да формираме нов правоъгълен триъгълник, такъв, че хипотенузата на споменатия триъгълник да е диагонална D.

3. Използваме отново Питагоровата теорема и имаме, че дължината на диагонала е:

Друг начин за изчисляване на диагоналите по по-графичен начин е сумата от свободните вектори.

Припомнете си, че два свободни вектора А и В се добавят чрез поставяне на опашката на вектор В с връх на вектор А.

Векторът (A + B) е този, който започва от опашката на А и завършва на върха на В.

Помислете за паралелепипед, към който искаме да изчислим диагонал.

Ние идентифицираме ръбовете с удобно ориентирани вектори.

След това добавяме тези вектори и полученият вектор ще бъде диагоналът на паралелепипеда.

област

Площта на паралелепипеда се дава от сумата на всяка от областите на лицата им.

Ако определим една от страните като база,

А_L + 2А_B = Обща площ

Където A_L е равна на сумата от площите на всички страни, съседни на основата, наречена странична област и А_B е основната площ.

В зависимост от вида на паралелепипеда, с който работим, можем да пренапишем формулата.

Площ на ортоедър

Тя се дава с формулата

A = 2 (ab + bc + ca).

Пример 1

Като се има предвид следният ортоедър, със страни a = 6 cm, b = 8 cm и c = 10 cm, изчислете площта на паралелепипеда и дължината на диагонала.

Използвайки формулата за площта на ортоедър, трябва

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm².

Забележете, че тъй като е ортоедър, дължината на всяка от четирите му диагонали е една и съща.

Използваме Питагоровата теорема за пространството, което трябва

D = (6² + 8² + 10²)^1/2 = (36 + 64 + 100)^1/2 = (200)^1/2

Площ на куб

Тъй като всеки ръб има една и съща дължина, ние имаме a = b и a = c. Замествайки в предишната формула имаме

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3а²) = 6а²

А = 6а²

Пример 2

Кутията на игралната конзола има формата на куб. Ако искаме да опаковаме тази кутия с хартия за подаръци, колко хартия ще прекараме, знаейки, че дължината на ръбовете на куба е 45 см?

Използвайки формулата на кубичната област, получаваме това

A = 6 (45 cm)² = 6 (2025 cm)²= 12150 cm²

Площ на ромбодър

Тъй като всичките им лица са еднакви, достатъчно е да се изчисли площта на една от тях и да се умножи с шест.

Можем да изчислим площта на диаманта, използвайки нейните диагонали със следната формула

А_R = (Dd) / 2

Използвайки тази формула следва, че е общата площ на ромбоеда

А_T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

Пример 3

Лицата на следния ромбоедър са оформени от ромб, чиито диагонали са D = 7 cm и d = 4 cm. Вашата зона ще бъде

А = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm².

Район на ромбичен

За да изчислим площта на едно ромбично, трябва да изчислим площта на ромбоидите, които я съставят. Тъй като паралелепипедите се съобразяват с това, че противоположните страни имат една и съща област, можем да свържем страните в три двойки.

По този начин ще имаме вашия район

А_T = 2b₁з₁ + 2b₂з₂ + 2b₃з₃

Където b_аз са базите, свързани със страните и_аз неговата относителна височина, съответстваща на споменатите основи.

Пример 4

Помислете за следния паралелепипед,

където страната А и страната А (противоположната му страна) имат като основа b = 10 и за височина h = 6. Маркираната площ ще има стойност на

А₁ = 2 (10) (6) = 120

B и B 'имат b = 4 и h = 6, след това

А₂ = 2 (4) (6) = 48

И C и C 'имат b = 10 и h = 5, така че

А₃ = 2 (10) (5) = 100

Накрая е зоната на ромбоеда

А = 120 + 48 + 100 = 268.

Обем на паралелепипед

Формулата, която ни дава обема на паралелепипед, е произведението на площта на една от нейните лица по височината, съответстваща на лицето.

V = A_Cз_C

В зависимост от вида на паралелепипеда, споменатата формула може да бъде опростена.

Така че имаме например, че обемът на ортоедър ще бъде даден от

V = abc.

Където a, b и c представляват дължината на ортоедърните ръбове.

И в конкретния случай на куба е

V = a³

Пример 1

Има три различни модела за кутии с бисквитки и искате да знаете в кой от тези модели можете да съхранявате повече бисквитки, т.е. кои от кутиите имат най-голям обем.

Първият е куб, чийто ръб е с дължина a = 10 cm

Неговият обем ще бъде V = 1000 cm³

Вторият има ръбове b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Следователно обемът му е V = 765 cm³

Третият е е = 9 cm, f = 9 cm и g = 13 cm

А обемът му е V = 1053 cm³

Следователно, кутията с най-голям обем е третата.

Друг метод за получаване на обема на паралелепипед е да се прибегне до векторна алгебра. По-специално, тройният скаларен продукт.

Едно от геометричните интерпретации, които имат тройния скаларен продукт, е обемът на паралелепипеда, чиито ръбове са три вектора, които споделят една и съща връх като начална точка.

По този начин, ако имаме паралелепипед и искаме да знаем какъв е неговият обем, достатъчно е да го представим в координатна система в R³ съвпадение на един от нейните върхове с произхода.

Тогава ние представяме ръбовете, които съвпадат в началото с вектори, както е показано на фигурата.

И по този начин имаме, че обемът на споменатия паралелепипед е даден чрез

V = | AxB ∙ C |

Или еквивалентно обемът е детерминанта на 3 × 3 матрицата, образувана от компонентите на крайните вектори.

Пример 2

Чрез представяне на следващия паралелепипед в R³ можем да видим, че векторите, които го определят, са следните

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) и w = (-0.25, -4, 4)

Използвайки тройния скаларен продукт, който имаме

V = | (uxv) | w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) = w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

От това заключаваме, че V = 60

Сега разгледайте следния паралелепипед в R3, чиито ръбове се определят от векторите

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) и C = (3, 4, 4)

Използването на детерминанти ни дава това

Така че имаме, че обемът на споменатия паралелепипед е 112.

И двете са еквивалентни начини за изчисляване на обема.

Перфектен паралелепипед

Той е известен като тухла на Ойлер (или блока на Ойлер) към ортоедър, който изпълнява свойството, че и двата му краища и дължината на диагоналите на всяка от нейните лица са цели числа.

Докато Ойлер не беше първият учен, който изучава ортоедрите, които отговарят на това свойство, той намери интересни резултати за тях..

По-малката Ейлерова тухла е открита от Пол Халке и дължините на ръбовете му са a = 44, b = 117 и c = 240.

Отворен проблем в теорията на числата е следният

Има ли перфектни ортоедъри?

Понастоящем на този въпрос не може да се отговори, тъй като не е било възможно да се докаже, че тези органи не съществуват, но нито един не е намерен.

Досега е показано, че съвършените паралелепипеди съществуват. Първото, което се открива, има дължината на своите краища на стойностите 103, 106 и 271.

библиография

1. Guy, R. (1981). Нерешени проблеми в теорията на числата. дребна порода ловджийско куче.
2. Landaverde, F. d. (1997). Геометрия. прогрес.
3. Leithold, L. (1992). ИЗЧИСЛЯВАНЕ с аналитична геометрия. HARLA, S.A..
4. Rendon, A. (2004). Технически чертеж: Работна книга 3 Втори бакалавър . Тебар.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Физика том 1. Мексико: континентална.