Продукт кръст свойства, приложения и решени упражнения



на Вектор на кръстосани продукти или продукти Това е начин да се умножат два или повече вектора. Има три начина за умножаване на векторите, но нито едно от тях не е умножение в обичайния смисъл на думата. Една от тези форми е известна като вектор-продукт, което води до трети вектор.

Векторният продукт, който също се нарича кръстосан продукт или външен продукт, има различни алгебрични и геометрични свойства. Тези свойства са много полезни, особено при изучаването на физиката.

индекс

  • 1 Определение
  • 2 Свойства
    • 2.1 Собственост 1
    • 2.2 Имущество 2
    • 2.3 Имущество 3
    • 2.4 Имот 4 (тройно скаларен продукт)
    • 2.5 Имот 5 (тройно векторно изделие)
    • 2.6 Собственост 6
    • 2.7 Имущество 7
    • 2.8 Имот 8
  • 3 Приложения
    • 3.1 Изчисляване на обем на паралелепипед
  • 4 Упражнения са решени
    • 4.1 Упражнение 1
    • 4.2 Упражнение 2
  • 5 Препратки

дефиниция

Формалната дефиниция на векторния продукт е следната: ако A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3) са вектори, тогава векторният продукт на A и B, който ще обозначим като AxB, е:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

Поради обозначението AxB, то се чете като "A cross B".

Пример за това как да се използва външният продукт е, че ако A = (1, 2, 3) и B = (3, -2, 4) са вектори, тогава използвайки дефиницията на векторния продукт имаме:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (- 2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Друг начин за изразяване на векторния продукт е даден от обозначенията на детерминантите.

Изчисляването на определящ фактор от втори ред се дава чрез:

Следователно, формулата на векторния продукт, дадена в дефиницията, може да бъде пренаписана, както следва:

Обикновено това се опростява в детерминанта от трети ред, както следва:

Където i, j, k представляват векторите, които са в основата на R3.

Използвайки този начин на изразяване на кръстосания продукт, имаме, че предишният пример може да бъде пренаписан като:

свойства

Някои свойства, които притежава векторният продукт, са следните:

Собственост 1

Ако А е всеки вектор в R3, Трябва:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Тези свойства са лесни за проверка, като се използва само определението. Ако A = (a1, a2, a3), трябва да:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Ако i, j, k представляват единичната база на R3, Можем да ги напишем, както следва:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

След това трябва да изпълним следните свойства:

Като мнемонично правило, за да запомните тези свойства, обикновено се използва следният кръг:

Там трябва да отбележим, че всеки вектор със себе си води до вектор 0, а останалите продукти могат да бъдат получени със следното правило:

Кръстовият продукт на два последователни вектора в посока на часовниковата стрелка дава следния вектор; и при разглеждане на посоката, обратна на часовниковата стрелка, резултатът е следният вектор с отрицателен знак.

Благодарение на тези свойства можем да видим, че векторният продукт не е комутативен; например, достатъчно е да се отбележи, че i x j x j x i. Следното свойство ни казва как се свързват AxB и BxA като цяло.

Имот 2

Ако А и В са R вектори3, Трябва:

AxB = - (BxA).

шоу

Ако A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3), по дефиниция на външен продукт имаме:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Можем също така да забележим, че този продукт не е асоциативен със следния пример:

ix (ixj) = ixk = - j, но (ixi) xj = 0xj = 0

От това можем да видим, че:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Имот 3

Ако А, В, С са R вектори3 и r е реално число, следното е вярно:

- Ax (В + С) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Благодарение на тези свойства можем да изчислим векторния продукт, като използваме законите на алгебрата, при условие че се спазва реда. Например:

Ако A = (1, 2, 3) и B = (3, -2, 4), можем да ги пренапишем на канонична основа на R3.

Така, A = i + 2j + 3k и B = 3i - 2j + 4k. След това, прилагайки предишните свойства:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) + 12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Имот 4 (тройно скаларен продукт)

Както споменахме в началото, има и други начини за умножаване на векторите освен векторния продукт. Един от тези начини е скаларният продукт или вътрешен продукт, който е обозначен като A ∙ B и чието определение е:

Ако A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3), то A = B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Свойството, което свързва двата продукта, е известно като тройния скаларен продукт.

Ако А, В и С са R вектори3, след това A x BxC = AxB ∙ C

Като пример нека видим, че при зададени A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) и C = (- 5, 1, - 4), това свойство е изпълнено.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A x BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

От друга страна:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Друг троен продукт е Ax (BxC), който е известен като тройно векторно средство.

Имот 5 (тройно векторно изделие)

Ако А, В и С са R вектори3,  след това:

Ax (BxC) = (А 'С) В - (А' В) С

Като пример нека видим, че при зададени A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) и C = (- 5, 1, - 4), това свойство е изпълнено.

От предишния пример знаем, че BxC = (- 18, - 22, 17). Да изчислим Ax (BxC):

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

От друга страна, трябва да:

A = C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A = B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Затова трябва да:

(A) C) B - (A) B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27,19, -4)

Собственост 6

Това е едно от геометричните свойства на векторите. Ако А и В са два вектора в R3 и Θ е ъгълът, който се формира между тях, след това:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), където || || означава модула или величината на вектор.

Геометричната интерпретация на това свойство е както следва:

Нека A = PR и B = PQ. След това ъгълът, образуван от вектори А и В, е ъгъл Р на триъгълника RQP, както е показано на следващата фигура.

Следователно, площта на успоредника с прилежащите страни PR и PQ е || A |||| B || sin (Θ), тъй като можем да вземем за база || A || и височината му е дадена от || B || sin ().

Поради това можем да заключим, че || AxB || е областта на споменатия паралелограм.

пример

Дадени са следните върхове на четиристранни P (1, -2,3), Q (4, 3, -1), R (2, 2,1) и S (5,7, -3), показват, че споменатият четириъгълник е успоредник и намира своята площ.

За това първо определяме векторите, които определят посоката на страните на четириъгълника. Това е:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2 - 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Както можем да наблюдаваме, А и С имат един и същ вектор-директор, за който имаме, че и двете са паралелни; по същия начин, по който се случва с B и D. Следователно, ние заключаваме, че PQRS е успоредник.

За да имаме площта на споменатия успоредник, изчисляваме BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Следователно квадратът ще бъде:

|| BxA ||2 = (- 6)2 + (- 2)2 + (- 7)2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Може да се заключи, че площта на успоредника ще бъде квадратният корен от 89.

Собственост 7

Два вектора A и В са паралелни в R3 да и само ако AxB = 0

шоу

Ясно е, че ако А или В са нулев вектор, следва, че AxB = 0. Тъй като нулевият вектор е успореден на всеки друг вектор, тогава собствеността е валидна..

Ако нито един от двата вектора не е нулев вектор, имаме, че техните величини са различни от нула; т.е. и двете || A || As 0 като || B || , 0, така че ще трябва да || AxB || = 0 ако и само ако sin (=) = 0, и това се случва, ако и само ако Θ = π или Θ = 0.

Следователно можем да заключим AxB = 0 ако и само ако Θ = π или 0 = 0, което се случва само когато двата вектора са успоредни един на друг.

Имот 8

Ако А и В са два вектора в R3, тогава AxB е перпендикулярна на двете А и В.

шоу

За тази демонстрация не забравяйте, че два вектора са перпендикулярни, ако A is B е равно на нула. Освен това знаем, че:

A B AxB = AxA ∙ B, но AxA е равен на 0. Затова трябва да:

A B AxB = 0 = B = 0.

По този начин можем да заключим, че A и AxB са перпендикулярни един на друг. По аналогичен начин трябва да:

AxB ∙ B = A x BxB.

Като BxB = 0, трябва да:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Следователно, AxB и B са перпендикулярни един на друг и с това се демонстрира свойството. Това е много полезно, тъй като те ни позволяват да определим уравнението на равнината.

Пример 1

Получете уравнение на равнината, която минава през точки Р (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) и R (2, 1, 3).

Нека A = QR = (2 - 3,1 + 2, 3 - 2) и B = PR = (2 - 1,1 - 3, 3 - 2). Тогава A = - i + 3j + k и B = i - 2j + k. За да намерим равнината, образувана от тези три точки, е достатъчно да намерим нормален за равнината вектор, който е AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

С този вектор и като вземем точката P (1, 3, 2), можем да определим уравнението на равнината, както следва:

(5, 2, - 1) x (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Така че имаме, че уравнението на равнината е 5x + 2y - z - 9 = 0.

Пример 2

Намерете уравнението на равнината, която съдържа точката P (4, 0, - 2) и която е перпендикулярна на всяка от равнините x - y + z = 0 и 2x + y - 4z - 5 = 0 .

Знаейки, че нормален вектор към равнина ax + by + cz + d = 0 е (a, b, c), имаме, че (1, -1,1) е нормален вектор на x - y + z = 0 y ( 2.1, - 4) е нормален вектор от 2x + y - 4z - 5 = 0.

Следователно, нормален вектор към желаната равнина трябва да бъде перпендикулярна на (1, -1,1) и a (2, 1, - 4). Споменатият вектор е:

(1, -1,1) х (2,1, - 4) = 3i + 6j + 3k.

Тогава имаме, че търсената равнина е тази, която съдържа точката P (4,0, - 2) и има вектор (3,6,3) като нормален вектор.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

приложения

Изчисляване на обема на паралелепипед

Приложение, което има тройния скаларен продукт, трябва да може да изчисли обема на паралелепипед, чиито ръбове са дадени от вектори А, В и С, както е показано на фигурата:

Можем да изведем това приложение по следния начин: както казахме по-рано, векторът AxB е вектор, който е нормален към равнината на A и B. Имаме също, че векторът - (AxB) е друг вектор, нормален към споменатата равнина..

Избираме нормалния вектор, който формира най-малкия ъгъл с вектора C; без загуба на общности, нека AxB е векторът, чийто ъгъл с C е най-малък.

Имаме, че и AxB, и C имат една и съща отправна точка. В допълнение, ние знаем, че площта на успоредника, която формира основата на паралелепипеда, е || AxB ||. Следователно, ако височината на паралелепипеда е дадена от h, имаме, че нейният обем ще бъде:

V = || AxB || h.

От друга страна, разгледайте скаларния продукт между AxB и C, който може да бъде описан, както следва:

Въпреки това, по тригонометрични свойства имаме, че h = || C || cos (Θ), така че трябва да:

По този начин трябва:

Най-общо казано, имаме, че обемът на паралелепипед се дава от абсолютната стойност на тройния скаларен продукт AxB ∙ C.

Решени упражнения

Упражнение 1

Като се имат предвид точките P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) и S = ​​(2, 6, 9), тези точки образуват паралелепипед, чиито ръбове са те са PQ, PR и PS. Определя се обема на споменатия паралелепипед.

разтвор

Ако вземем:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Използвайки свойството на тройния скаларен продукт, трябва да:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 + 80 = 52.

Следователно, имаме, че обемът на споменатия паралелепипед е 52.

Упражнение 2

Определете обема на паралелепипед, чиито ръбове са дадени с A = PQ, B = PR и C = PS, където точките P, Q, R и S са (1, 3, 4), (3, 5, 3), (2, 1, 6) и (2, 2, 5), съответно.

разтвор

Първо имаме, че A = (2, 2, -1), B = (1, -2, 2), C = (1, -1, 1).

Изчисляваме AxB = (2, 2, -1) x (1, -2, 2) = (2, -5, -6).

След това изчисляваме AxB: C:

AxB ∙ C = (2, -5, -6) ∙ (1, -1, 1) = 2 + 5 - 6 = 1.

Така ние заключаваме, че обемът на споменатия паралелепипед е 1 кубична единица.

препратки

  1. Leithold, L. (1992). ИЗЧИСЛЯВАНЕ с аналитична геометрия. HARLA, S.A..
  2. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). Физика том 1. Мексико: континентална.
  3. Saenz, J. (s.f.). Изчисление на вектор 1д. хипотенуза.
  4. Spiegel, M. R. (2011). Вектор анализ 2ed. Mc Graw Hill.
  5. Zill, D.G. & Wright, W. (2011). Изчисляване на различни променливи 4ed. Mc Graw Hill.