Какво представляват относителните братовчеди? Характеристики и примери

Нарича се роднини (coprimos или братовчеди по отношение на всеки друг) към всяка двойка цели числа, които нямат общ делител, с изключение на 1.

С други думи, две цели числа са относителни братовчеди, ако в техните разпадания в прости числа те нямат общ фактор.

Например, ако са избрани 4 и 25, основните разпадания на всеки от тях са съответно 2² и 5². Както се оценява, те нямат общ фактор, следователно 4 и 25 са относителни братовчеди.

От друга страна, ако 6 и 24 са избрани, при осъществяване на техните декомпозиции в прости фактори, получаваме, че 6 = 2 * 3 и 24 = 2³ * 3.

Както можете да видите, тези две последни изрази имат най-малко един общ фактор, следователно те не са относителни прости числа.

Относителни братовчеди

Едно нещо, за което трябва да внимавате, е, че казвайки, че чифт числа са относителни празнини, това означава, че това не означава, че някой от тях е просто число.

От друга страна, горната дефиниция може да бъде обобщена по следния начин: две цели числа "а" и "б" са относителни правни числа, ако и само ако, най-големият общ делител от тях е 1, т.е. a, b) = 1.

Две непосредствени заключения от това определение са, че:

-Ако "а" (или "b") е просто число, тогава mcd (a, b) = 1.

-Ако "а" и "б" са прости числа, тогава mcd (a, b) = 1.

Тоест, ако поне едно от избраните числа е просто число, то директно двойката числа са относителни празни числа.

Други функции

Други резултати, които се използват, за да се определи дали две числа са относителни правни числа, са:

-Ако две цели числа са последователни, то те са относителни братовчеди.

-Две естествени числа "а" и "б" са относителни прости числа, ако и само ако, числата "(2 ^ а) -1" и "(2 ^ б) -1" са относителни праймери.

-Две цели числа "a" и "b" са относителни правни числа, ако и само ако, чрез начертаване на точката (a, b) в декартовата равнина, се изгради линията, която минава през началото (0,0) и (a) , б) това не съдържа точки с цели координати.

Примери

1.- Разгледайте числата 5 и 12. Основните разлагания на двата числа са: съответно 5 и 2² * 3. В заключение, gcd (5,12) = 1, следователно, 5 и 12 са относителни праймери.

2.- Нека числата -4 и 6. Тогава -4 = -2² и 6 = 2 * 3, така че LCD (-4.6) = 2. 1. В заключение -4 и 6 не са относителни братовчеди.

Ако пристъпим към графиката на линията, която минава през подредените двойки (-4.6) и (0.0), и определяме уравнението на тази линия, можем да проверим, че тя преминава през точката (-2.3).

Отново се прави заключението, че -4 и 6 не са относителни братовчеди.

3.- Числата 7 и 44 са относителни прости числа и могат да бъдат бързо завършени благодарение на горното, тъй като 7 е просто число.

4.- Помислете за числата 345 и 346. Като два последователни числа се проверява дали mcd (345,346) = 1, следователно 345 и 346 са относителни прости числа.

5.- Ако се вземат предвид числата 147 и 74, то те са относителни братовчеди, тъй като 147 = 3 * 7² и 74 = 2 * 37, следователно gcd (147.74) = 1.

6.- Числата 4 и 9 са относителни прости числа. За да се докаже това, може да се използва второто характеризиране, споменато по-горе. В сила, 2 ^ 4 -1 = 16-1 = 15 и 2 ^ 9-1 = 512-1 = 511.

Получените числа са 15 и 511. Основните разлагания на тези числа са 3 * 5 и 7 * 73 съответно, така че mcd (15,511) = 1.

Както можете да видите, използването на второто характеризиране е по-дълга и по-трудна задача, отколкото директното проверяване.

7.- Разгледайте числата -22 и -27. След това тези числа могат да бъдат пренаписани, както следва: -22 = -2 * 11 и -27 = -3³. Следователно, gcd (-22, -27) = 1, така че -22 и -27 са относителни прости числа.

препратки

1. Barrantes, H., Diaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Въведение в теорията на числата. EUNED.
2. Bourdon, P. L. (1843). Аритметични елементи. Книжарница на лордовете и децата на Калея.
3. Castañeda, S. (2016). Основен курс по теория на числата. Университет на Севера.
4. Guevara, М. H. (s.f.). Наборът от цели числа. EUNED.
5. Висш институт за обучение на учители (Испания), J. L. (2004). Числа, форми и обеми в детската среда. Министерство на образованието.
6. Палмър, С. И., и Бибб, С. Ф. (1979). Практическа математика: аритметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и правило (препечатайте издание). Реверте.
7. Рок, Н. М. (2006). Алгебрата ми е лесна! Толкова лесно. Екип Рок Прес.
8. Smith, S.A. (2000). алгебра. Образование в Пиърсън.
9. Szecsei, D. (2006). Основна математика и предварителна алгебра (илюстриран ед.). Кариерна преса.
10. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2-ри курс по математика. Редакция Progreso.
11. Wagner, G., Caicedo, A., & Colorado, H. (2010). Основни принципи на аритметиката. ELIZCOM S.A.S.