Теорема на Moivre за това какво се състои, демонстрация и решени упражнения



на Теоремата на Мойвър прилага фундаментални процеси на алгебра, като мощности и извличане на корените в комплексни числа. Теоремата е изявена от известния френски математик Абрахам де Мойвър (1730), който свързва сложни числа с тригонометрия.

Авраам Мойвър е направил това свързване чрез изразите на гърдите и косинуса. Този математик генерира някаква формула, чрез която е възможно да се повиши комплексното число z на мощността n, което е положително цяло число, по-голямо или равно на 1.

индекс

  • 1 Каква е теоремата на Moivre??
  • 2 Демонстрация
    • 2.1 Индуктивна основа
    • 2.2 Индуктивна хипотеза
    • 2.3 Проверка
    • 2.4 Отрицателно цяло число
  • 3 Упражнения са решени
    • 3.1 Изчисляване на положителните правомощия
    • 3.2 Изчисляване на отрицателните сили
  • 4 Препратки

Каква е теоремата на Moivre??

Теоремата на Moivre гласи следното:

Ако имате комплексно число в полярната форма z = rɵ, където r е модулът на комплексното число z и ъгълът Ɵ се нарича амплитуда или аргумент на всяко комплексно число с 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, за да се изчисли нейната n-та мощност няма да е необходимо да се умножава само по себе си n-пъти; не е необходимо да се прави следният продукт:

Zп = z * Z * Z* ... * z = r* R* R... * ... * Rɵ   N-пъти.

Напротив, теоремата казва, че при писане на z в неговата тригонометрична форма, за да се изчисли n-тата сила, следваме следното:

Ако z = r (cos i + i * sin Ɵ) след това zп = rп (cos n * i + i * sin n * Ɵ).

Например, ако n = 2, тогава z2 = r2[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Ако имате тази n = 3, тогава z3 = z2 * Z. В допълнение:

Z3 = r2[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] * r [cos 2 (+) + i sin 2 (Ɵ)] = r3[cos 3 (+) + i sin 3 (Ɵ)].

По този начин тригонометричните съотношения на синуса и косинуса могат да бъдат получени за кратни на ъгъл, доколкото са известни тригонометричните съотношения на ъгъла..

По същия начин може да се използва за намиране на по-точни и по-малко объркващи изрази за n-тия корен на комплексното число z, така че zп = 1.

За да се демонстрира теоремата на Мойвър, се използва принципът на математическата индукция: ако цяло число "а" има свойство "Р", и ако за всяко число "п" е по-голямо от "а", то има свойство "Р", то е удовлетворява, че n + 1 също има свойството "P", тогава всички числа, по-големи или равни на "a", имат свойството "P".

шоу

По този начин доказателството на теоремата се прави със следните стъпки:

Индуктивна основа

Първа проверка за n = 1.

Подобно на z1 = (r (cos i + i * сен))1 = r1 (cos i + i * сен Ɵ)1 = r1 [cos (1* +) + I * sen (1* Ɵ)], имаме, че за n = 1 теоремата е изпълнена.

Индуктивна хипотеза

Предполага се, че формулата е вярна за някои положителни числа, т.е. n = k.

Zк = (r (cos i + i * сен))к  = rк (cos k i + i * сен к Ɵ).

тестване

Доказано е, че е вярно за n = k + 1.

Подобно на zk + 1= zк * z, след това zk + 1 = (r (cos i + i * сен))k + 1 = rк (cos k + i * sen kƟ) *  r (cos i + i* senƟ).

Тогава изразите се умножават:

Zk + 1 = rk + 1((cos kƟ)*(cosƟ) + (cos kƟ)*(аз*senƟ) + (i * sen kƟ)*(cosƟ) + (i sen kƟ)*(аз* senƟ)).

За момент r факторът се игнорираk + 1,  и общ фактор i се премахва:

(cos kƟ)*(cosƟ) + i (cos kƟ)*(sinƟ) + i (sen kƟ)*(cosƟ) + i2(sen kƟ)*(SenƟ).

Как i2 = -1, заместваме го в израза и получаваме:

(cos kƟ)*(cosƟ) + i (cos kƟ)*(sinƟ) + i (sen kƟ)*(cosƟ) - (sen kƟ)*(SenƟ).

Сега са подредени реалната и въображаемата част:

(cos kƟ)*(cosƟ) - (sen kƟ)*(sinƟ) + i [(sen kƟ)*(cosƟ) + (cos kƟ)*(SenƟ)].

За опростяване на израза се прилагат тригонометричните идентичности на сумата от ъгли за косинуса и синуса, които са:

cos (A + B) = cos A * cos B - sen A * B.

sen (A + B) = sin A * cos B - cos A * cos B.

В този случай променливите са ъглите Ɵ и kƟ. Прилагайки тригонометричните идентичности, имаме:

cos kƟ * cosƟ -  sen kƟ * senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ * cosƟ + cos kƟ * senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

По този начин изразът остава:

Zk + 1 = rk + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * sen (kƟ + Ɵ))

Zk + 1 = rk + 1(cos [(k +1) Ɵ] + i * sen [(k +1) Ɵ]).

По този начин може да се покаже, че резултатът е вярно за n = k + 1. По принципа на математическата индукция се прави заключението, че резултатът е верен за всички положителни числа; n = 1.

Целочислено отрицателно

Теоремата на Moivre също се прилага, когато n ≤ 0. Разгледаме отрицателно цяло число "n"; тогава "n" може да бъде записано като "-m", т.е. n = -m, където "m" е положително цяло число. Ето защо:

(cos i + i * сен Ɵ)п = (cos i + i * сен Ɵ) -m

За да получим позицията "m" в положителна посока, изразът се записва обратно:

(cos i + i * сен Ɵ)п = 1 ÷ (cos i + i * сен Ɵ) m

(cos i + i * сен Ɵ)п = 1 ÷ (cos mƟ + i * sen mƟ)

Сега се използва, че ако z = a + b * i е комплексно число, то тогава 1 = z = a-b * i. Ето защо:

(cos i + i * сен Ɵ)п = cos (mƟ) - i * sen (mƟ).

Използвайки cos (x) = cos (-x) и -sen (x) = sin (-x), трябва да:

(cos i + i * сен Ɵ)п = [cos (m +) - i * sen (mƟ)]

(cos i + i * сен Ɵ)п = cos (- mƟ) + i * sen (-mƟ)

(cos i + i * сен Ɵ)п = cos (nƟ) - i * sen (nƟ).

По този начин можем да кажем, че теоремата се прилага за всички цялостни стойности на "n"..

Решени упражнения

Изчисляване на положителните сили

Една от операциите със сложни числа в полярната му форма е умножението между две от тях; в този случай модулите се умножават и аргументите се добавят.

Ако имате две комплексни числа z1 и z2 и искате да изчислите (z1* z2)2, След това следваме следното:

Z1Z2 = [r1 (cos Ɵ1 + аз * сен1)] * [r2 (cos Ɵ2 + аз * сен2)]

Прилага се дистрибутивното свойство:

Z1Z2 = r1 R2 (cos Ɵ1 * cos Ɵ2 + аз * cos Ɵ1 * аз * сен2 + аз * сен1 * cos Ɵ2 + аз2* сен1 * сен2).

Те са групирани, като се използва терминът "i" като общ фактор на изрази:

Z1Z2 = r1 R2 [cos Ɵ1 * cos Ɵ2 + i (cos Ɵ1 * сен2 + сен1 * cos Ɵ2) + i2* сен1 * сен2]

Как i2 = -1, се заменя в израза:

Z1Z2 = r1 R2 [cos Ɵ1 * cos Ɵ2 + i (cos Ɵ1 * сен2 + сен1 * cos Ɵ2) - сен1 * сен2]

Реалните термини се прегрупират с реални и въображаеми с въображаеми:

Z1Z2 = r1 R2 [(cos Ɵ1 * cos Ɵ2 - сен1 * сен2) + i (cos Ɵ1 * сен2 + сен1 * cos Ɵ2)]

Накрая се прилагат тригонометричните свойства:

Z1Z2 = r1 R2 [cos (1 + ɵ2) + i sen (1 + ɵ2)].

В заключение:

(Z1* z2)2= (r1 R2 [cos (1 + ɵ2) + i sen (1 + ɵ2)])2

= R12R22[cos 2 * (1 + ɵ2) + i sen 2 * (1 + ɵ2)].

Упражнение 1

Напишете комплексното число в полярна форма, ако z = - 2 -2i. След това, като се използва теоремата на Moivre, изчислете z4.

разтвор

Комплексното число z = -2 -2i се изразява в правоъгълна форма z = a + bi, където:

a = -2.

b = -2.

Знаейки, че полярната форма е z = r (cos i + i * sin Ɵ), трябва да определите стойността на модула "r" и стойността на аргумента "Ɵ". Като r = √ (a² + b²), дадените стойности се заменят:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

След това, за да се определи стойността на "Ɵ", се прилага правоъгълната форма на това, което се дава с формулата:

tan Ɵ = b. a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Тъй като tan (() = 1 и трябва да<0, entonces se tiene que:

Ar = arctan (1) + Π.

= 4/4 + Π

= 5/4.

Тъй като стойността на "r" и "Ɵ" вече е получена, комплексното число z = -2 -2i може да бъде изразено в полярната форма чрез заместване на стойностите:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sen (5Π / 4)).

Сега се използва теоремата Moivre за изчисляване на z4:

Z4= 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sen (5Π / 4))4

= 32 (cos (5 ') + i * sen (5Π)).

Упражнение 2

Намерете продукта на комплексните числа, като го изразите в полярната му форма:

z1 = 4 (cos 50или + аз* 50 senили)

z2 = 7 (cos 100или + аз* 100 senили).

След това изчислете (z1 * z2) ².

разтвор

Първо се формира произведението на дадените числа:

Z1 Z2 = [4 (cos 50или + аз* 50 senили)] * [7 (cos 100или + аз* 100 senили)]

След това умножете модулите заедно и добавете аргументите:

Z1 Z2 = (4 * 7)* [cos (50или + 100или) + i* sen (50или + 100или)]

Изразът е опростен:

Z1 Z2 = 28 * (cos 150или + (аз* 150 senили).

Накрая се прилага теоремата Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150или + (аз* 150 senили)) ² = 784 (cos 300)или + (аз* 300 senили)).

Изчисляване на отрицателните сили

За разделяне на две комплексни числа z1 и z2 в полярната си форма модулът е разделен и аргументите се изваждат. Следователно, коефициентът е z1 . Z2 и се изразява, както следва:

Z1 . Z2 = r1 / r2 ([cos (Ɵ1- ɵ2) + i sen (1 - ɵ2)]).

Както и в предишния случай, ако искате да изчислите (z1 2 z2) ³ първо се прави разделянето и след това се използва теоремата Moivre..

Упражнение 3

дадено:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

изчислете (z1 2 z2) ³.

разтвор

Следвайки описаните по-горе стъпки, може да се заключи, че:

(z1 2 z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)))

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

препратки

  1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.
  2. Croucher, M. (s.f.). От теоремата на Moivre за тригонни идентичности. Проект за демонстрации на Волфрам.
  3. Hazewinkel, М. (2001). Математическа енциклопедия.
  4. Max Peters, W. L. (1972). Алгебра и тригонометрия.
  5. Pérez, C.D. (2010). Образование в Пиърсън.
  6. Stanley, G. (s.f.). Линейна алгебра Graw-Hill.
  7. , М. (1997). Precalculus. Образование в Пиърсън.