Теорема на Moivre за това какво се състои, демонстрация и решени упражнения

на Теоремата на Мойвър прилага фундаментални процеси на алгебра, като мощности и извличане на корените в комплексни числа. Теоремата е изявена от известния френски математик Абрахам де Мойвър (1730), който свързва сложни числа с тригонометрия.

Авраам Мойвър е направил това свързване чрез изразите на гърдите и косинуса. Този математик генерира някаква формула, чрез която е възможно да се повиши комплексното число z на мощността n, което е положително цяло число, по-голямо или равно на 1.

индекс

• 1 Каква е теоремата на Moivre??
• 2 Демонстрация
  • 2.1 Индуктивна основа
  • 2.2 Индуктивна хипотеза
  • 2.3 Проверка
  • 2.4 Отрицателно цяло число
• 3 Упражнения са решени
  • 3.1 Изчисляване на положителните правомощия
  • 3.2 Изчисляване на отрицателните сили
• 4 Препратки

Каква е теоремата на Moivre??

Теоремата на Moivre гласи следното:

Ако имате комплексно число в полярната форма z = r_ɵ, където r е модулът на комплексното число z и ъгълът Ɵ се нарича амплитуда или аргумент на всяко комплексно число с 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, за да се изчисли нейната n-та мощност няма да е необходимо да се умножава само по себе си n-пъти; не е необходимо да се прави следният продукт:

Z^п = z _* Z _* Z_{* ... *} z = r_* R_* R_{... * ... *} R_ɵ   N-пъти.

Напротив, теоремата казва, че при писане на z в неговата тригонометрична форма, за да се изчисли n-тата сила, следваме следното:

Ако z = r (cos i + i _* sin Ɵ) след това z^п = r^п (cos n * i + i _* sin n * Ɵ).

Например, ако n = 2, тогава z² = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)]. Ако имате тази n = 3, тогава z³ = z² _* Z. В допълнение:

Z³ = r²[cos 2 (Ɵ) + i sin 2 (Ɵ)] _* r [cos 2 (+) + i sin 2 (Ɵ)] = r³[cos 3 (+) + i sin 3 (Ɵ)].

По този начин тригонометричните съотношения на синуса и косинуса могат да бъдат получени за кратни на ъгъл, доколкото са известни тригонометричните съотношения на ъгъла..

По същия начин може да се използва за намиране на по-точни и по-малко объркващи изрази за n-тия корен на комплексното число z, така че z^п = 1.

За да се демонстрира теоремата на Мойвър, се използва принципът на математическата индукция: ако цяло число "а" има свойство "Р", и ако за всяко число "п" е по-голямо от "а", то има свойство "Р", то е удовлетворява, че n + 1 също има свойството "P", тогава всички числа, по-големи или равни на "a", имат свойството "P".

шоу

По този начин доказателството на теоремата се прави със следните стъпки:

Индуктивна основа

Първа проверка за n = 1.

Подобно на z¹ = (r (cos i + i _* сен))¹ = r¹ (cos i + i _* сен Ɵ)¹ = r¹ [cos (1_* +) + I _* sen (1_* Ɵ)], имаме, че за n = 1 теоремата е изпълнена.

Индуктивна хипотеза

Предполага се, че формулата е вярна за някои положителни числа, т.е. n = k.

Z^к = (r (cos i + i _* сен))^к  = r^к (cos k i + i _* сен к Ɵ).

тестване

Доказано е, че е вярно за n = k + 1.

Подобно на z^{k + 1}= z^к _* z, след това z^{k + 1} = (r (cos i + i _* сен))^{k + 1} = r^к (cos k + i _* sen kƟ) _*  r (cos i + i_* senƟ).

Тогава изразите се умножават:

Z^{k + 1} = r^{k + 1}((cos kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(аз_*senƟ) + (i _* sen kƟ)_*(cosƟ) + (i _* sen kƟ)_*(аз_* senƟ)).

За момент r факторът се игнорира^{k + 1},  и общ фактор i се премахва:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) + i²(sen kƟ)_*(SenƟ).

Как i² = -1, заместваме го в израза и получаваме:

(cos kƟ)_*(cosƟ) + i (cos kƟ)_*(sinƟ) + i (sen kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(SenƟ).

Сега са подредени реалната и въображаемата част:

(cos kƟ)_*(cosƟ) - (sen kƟ)_*(sinƟ) + i [(sen kƟ)_*(cosƟ) + (cos kƟ)_*(SenƟ)].

За опростяване на израза се прилагат тригонометричните идентичности на сумата от ъгли за косинуса и синуса, които са:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sen A _* B.

sen (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

В този случай променливите са ъглите Ɵ и kƟ. Прилагайки тригонометричните идентичности, имаме:

cos kƟ _* cosƟ -  sen kƟ _* senƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sen kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* senƟ = sen (kƟ + Ɵ)

По този начин изразът остава:

Z^{k + 1} = r^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sen (kƟ + Ɵ))

Z^{k + 1} = r^{k + 1}(cos [(k +1) Ɵ] + i _* sen [(k +1) Ɵ]).

По този начин може да се покаже, че резултатът е вярно за n = k + 1. По принципа на математическата индукция се прави заключението, че резултатът е верен за всички положителни числа; n = 1.

Целочислено отрицателно

Теоремата на Moivre също се прилага, когато n ≤ 0. Разгледаме отрицателно цяло число "n"; тогава "n" може да бъде записано като "-m", т.е. n = -m, където "m" е положително цяло число. Ето защо:

(cos i + i _* сен Ɵ)^п = (cos i + i _* сен Ɵ) ^-m

За да получим позицията "m" в положителна посока, изразът се записва обратно:

(cos i + i _* сен Ɵ)^п = 1 ÷ (cos i + i _* сен Ɵ) ^m

(cos i + i _* сен Ɵ)^п = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sen mƟ)

Сега се използва, че ако z = a + b * i е комплексно число, то тогава 1 = z = a-b * i. Ето защо:

(cos i + i _* сен Ɵ)^п = cos (mƟ) - i _* sen (mƟ).

Използвайки cos (x) = cos (-x) и -sen (x) = sin (-x), трябва да:

(cos i + i _* сен Ɵ)^п = [cos (m +) - i _* sen (mƟ)]

(cos i + i _* сен Ɵ)^п = cos (- mƟ) + i _* sen (-mƟ)

(cos i + i _* сен Ɵ)^п = cos (nƟ) - i _* sen (nƟ).

По този начин можем да кажем, че теоремата се прилага за всички цялостни стойности на "n"..

Решени упражнения

Изчисляване на положителните сили

Една от операциите със сложни числа в полярната му форма е умножението между две от тях; в този случай модулите се умножават и аргументите се добавят.

Ако имате две комплексни числа z₁ и z₂ и искате да изчислите (z₁* z₂)², След това следваме следното:

Z₁Z₂ = [r₁ (cos Ɵ₁ + аз _* сен₁)] * [r₂ (cos Ɵ₂ + аз _* сен₂)]

Прилага се дистрибутивното свойство:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ (cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + аз _* cos Ɵ_{1 *} аз _* сен₂ + аз _* сен_{1 *} cos Ɵ₂ + аз²_* сен_{1 *} сен₂).

Те са групирани, като се използва терминът "i" като общ фактор на изрази:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} сен₂ + сен_{1 *} cos Ɵ₂) + i²_* сен_{1 *} сен₂]

Как i² = -1, се заменя в израза:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ + i (cos Ɵ_{1 *} сен₂ + сен_{1 *} cos Ɵ₂) - сен_{1 *} сен₂]

Реалните термини се прегрупират с реални и въображаеми с въображаеми:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [(cos Ɵ_{1 *} cos Ɵ₂ - сен_{1 *} сен₂) + i (cos Ɵ_{1 *} сен₂ + сен_{1 *} cos Ɵ₂)]

Накрая се прилагат тригонометричните свойства:

Z₁Z₂ = r₁ R₂ [cos (₁ + ɵ₂) + i sen (₁ + ɵ₂)].

В заключение:

(Z₁* z₂)²= (r₁ R₂ [cos (₁ + ɵ₂) + i sen (₁ + ɵ₂)])²

= R₁²R₂²[cos 2 * (₁ + ɵ₂) + i sen 2 * (₁ + ɵ₂)].

Упражнение 1

Напишете комплексното число в полярна форма, ако z = - 2 -2i. След това, като се използва теоремата на Moivre, изчислете z⁴.

разтвор

Комплексното число z = -2 -2i се изразява в правоъгълна форма z = a + bi, където:

a = -2.

b = -2.

Знаейки, че полярната форма е z = r (cos i + i _* sin Ɵ), трябва да определите стойността на модула "r" и стойността на аргумента "Ɵ". Като r = √ (a² + b²), дадените стойности се заменят:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

След това, за да се определи стойността на "Ɵ", се прилага правоъгълната форма на това, което се дава с формулата:

tan Ɵ = b. a

tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Тъй като tan (() = 1 и трябва да<0, entonces se tiene que:

Ar = arctan (1) + Π.

= 4/4 + Π

= 5/4.

Тъй като стойността на "r" и "Ɵ" вече е получена, комплексното число z = -2 -2i може да бъде изразено в полярната форма чрез заместване на стойностите:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4)).

Сега се използва теоремата Moivre за изчисляване на z⁴:

Z⁴= 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sen (5Π / 4))⁴

= 32 (cos (5 ') + i _* sen (5Π)).

Упражнение 2

Намерете продукта на комплексните числа, като го изразите в полярната му форма:

z1 = 4 (cos 50^или + аз_* 50 sen^или)

z2 = 7 (cos 100^или + аз_* 100 sen^или).

След това изчислете (z1 * z2) ².

разтвор

Първо се формира произведението на дадените числа:

Z₁ Z₂ = [4 (cos 50^или + аз_* 50 sen^или)] * [7 (cos 100^или + аз_* 100 sen^или)]

След това умножете модулите заедно и добавете аргументите:

Z₁ Z₂ = (4 _* 7)_* [cos (50^или + 100^или) + i_* sen (50^или + 100^или)]

Изразът е опростен:

Z₁ Z₂ = 28 _* (cos 150^или + (аз_* 150 sen^или).

Накрая се прилага теоремата Moivre:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150^или + (аз_* 150 sen^или)) ² = 784 (cos 300)^или + (аз_* 300 sen^или)).

Изчисляване на отрицателните сили

За разделяне на две комплексни числа z₁ и z₂ в полярната си форма модулът е разделен и аргументите се изваждат. Следователно, коефициентът е z₁ . Z₂ и се изразява, както следва:

Z₁ . Z₂ = r1 / r2 ([cos (Ɵ₁- ɵ₂) + i sen (₁ - ɵ₂)]).

Както и в предишния случай, ако искате да изчислите (z1 2 z2) ³ първо се прави разделянето и след това се използва теоремата Moivre..

Упражнение 3

дадено:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

изчислете (z1 2 z2) ³.

разтвор

Следвайки описаните по-горе стъпки, може да се заключи, че:

(z1 2 z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4)))

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

препратки

1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.
2. Croucher, M. (s.f.). От теоремата на Moivre за тригонни идентичности. Проект за демонстрации на Волфрам.
3. Hazewinkel, М. (2001). Математическа енциклопедия.
4. Max Peters, W. L. (1972). Алгебра и тригонометрия.
5. Pérez, C.D. (2010). Образование в Пиърсън.
6. Stanley, G. (s.f.). Линейна алгебра Graw-Hill.
7. , М. (1997). Precalculus. Образование в Пиърсън.