Теоремни примери на Вариньон и решени упражнения



на Теоремата на Вариньон установява, че ако в която и да е четириъгълник всякакви точки са непрекъснато свързани към страните, се генерира паралелограма. Тази теорема е формулирана от Пиер Варнион и е публикувана в книгата от 1731 година Елементи на математиката".

Публикуването на книгата е настъпило години след смъртта му. Тъй като Varignon е този, който представя тази теорема, паралелограма е кръстен на него. Теоремата се основава на евклидова геометрия и представя геометрични връзки на четириъгълниците.

индекс

  • 1 Каква е теоремата на Вариньон??
  • 2 Примери
    • 2.1 Първи пример
    • 2.2 Втори пример
  • 3 Упражнения са решени
    • 3.1 Упражнение 1
    • 3.2 Упражнение 2
    • 3.3 Упражнение 3
  • 4 Препратки

Какво е теоремата на Вариньон??

Varignon твърди, че фигура, определена от средните точки на четириъгълника, винаги ще доведе до успоредник, а площта на това винаги ще бъде половината от площта на четириъгълника, ако е плоска и изпъкнала. Например:

На фигурата можем да видим четириъгълник с област X, където средните точки на страните са представени от E, F, G и H и когато са свързани, образуват паралелограма. Площта на четириъгълника ще бъде сумата от областите на триъгълниците, които се образуват, а половината от тях съответства на областта на успоредника..

Тъй като площта на успоредника е половината от площта на четириъгълника, може да се определи периметърът на този паралелограма.

По този начин периметърът е равен на сумата от дължините на диагоналите на четириъгълника; това е така, защото медианата на четириъгълника ще бъде диагоналите на успоредника.

От друга страна, ако дължините на диагоналите на четириъгълника са абсолютно еднакви, успоредникът ще бъде диамант. Например:

От фигурата може да се види, че чрез свързване на средните точки на страните на четириъгълника се получава ромб. От друга страна, ако диагоналите на четириъгълника са перпендикулярни, успоредникът ще бъде правоъгълник.

Също така успоредникът ще бъде квадрат, когато четириъгълникът има диагонали със същата дължина и също така са перпендикулярни.

Теоремата се изпълнява не само в плоски четириъгълници, но и в пространствена геометрия или в големи размери; т.е. в тези четириъгълници, които не са изпъкнали. Пример за това може да бъде октаедър, където средните точки са центроидите на всяко лице и образуват паралелепипед.

По този начин, чрез присъединяване към средните точки на различни фигури, могат да се получат паралелограми. Един прост начин да се провери дали това наистина е вярно, е, че противоположните страни трябва да са успоредни, когато са разширени.

Примери

Първи пример

Удължаване на противоположните страни, за да се покаже, че това е успоредник:

Втори пример

Чрез присъединяване към средата на диаманта се получава правоъгълник:

Теоремата се използва в обединението на точки, разположени в средата на страните на четириъгълника, и може да се използва и за други типове точки, като например в трисекция, пента-секция или дори безкраен брой секции nth), за да се разделят страните на всеки четириъгълник на сегменти, които са пропорционални.

Решени упражнения

Упражнение 1

На фигурата имаме четириъгълник ABCD на площ Z, където средните точки на страните са PQSR. Проверете дали се образува паралелограма на Varignon.

разтвор

Може да се провери, че при присъединяване към точките на PQSR се формира успоредник на Varignon, именно защото в изложението са дадени средните точки на четириъгълника..

За да се докаже това, средните точки PQSR са обединени, така че може да се види, че се формира друг четириъгълник. За да покажете, че това е успоредник, просто трябва да начертаете права линия от точка С до точка А, така че можете да видите, че CA е паралелна на PQ и RS.

По подобен начин, чрез разширяване на страниците на PQRS може да се отбележи, че PQ и RS са паралелни, както е показано на следното изображение:

Упражнение 2

Той има правоъгълник, така че дължините на всичките му страни са равни. При присъединяване към средните точки на тези страни се оформя ромб ABCD, който е разделен от две диагонали AC = 7cm и BD = 10cm, които съвпадат с измерванията на страните на правоъгълника. Определете областите на диаманта и правоъгълника.

разтвор

Като помним, че площта на получената успоредност е половината от четириъгълника, можете да определите площта на тези, като знаете, че мярката на диагоналите съвпада със страните на правоъгълника. Така че трябва да:

AB = D

CD = d

Аправоъгълник = (AB * CD) = (10 cm) * 7 cm) = 70 cm2

Аромб = A правоъгълник / 2

Аромб = 70 cm2 / 2 = 35 cm2

Упражнение 3

На фигурата имаме четириъгълник, който има обединението на точките EFGH, дадени са дължините на сегментите. Определете дали обединението на EFGH е успоредник.

AB = 2.4 CG = 3.06

EB = 1.75 GD = 2.24

BF = 2.88 DH = 2.02

FC = 3.94 HA = 2.77

разтвор

Като се имат предвид дължините на сегментите, е възможно да се провери дали има пропорционалност между сегментите; можем да знаем дали те са успоредни, свързвайки сегментите на четириъгълника по следния начин:

- AE / EB = 2.4 / 1.75 = 1.37

- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37

- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

След това се проверява пропорционалността, тъй като:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

По същия начин, когато начертаваме линия от точка В до точка D, можем да видим, че EH е паралелна на BD, точно както BD е успоредна на FG. От друга страна, EF е паралелен на GH.

По този начин може да се определи, че EFGH е успоредник, защото противоположните страни са успоредни.

препратки

  1. Андрес, Т. (2010). Математическа олимпиада. дребна порода ловджийско куче. Ню Йорк.
  2. Barbosa, J. L. (2006). Плоска евклидова геометрия. SBM. Рио де Жанейро.
  3. Howar, E. (1969). Проучване на геометриите. Мексико: Испанци - американци.
  4. Рамо, Г. П. (1998). Неизвестни решения на проблемите на Ферма-Торичели. ISBN - Независима работа.
  5. Вера, Ф. (1943). Елементи на геометрията. Богота.
  6. Villiers, M. (1996). Някои приключения в евклидовата геометрия. Южна Африка.