Демонстрация на биномни теореми и примери

на биномна теорема е уравнение, което ни казва как да разработим израз на формата (a + b)^п за някои естествени числа n. Биномиалът не е повече от сумата от два елемента, като (a + b). Той също така ни позволява да знаем за термин, даден от a^кб^п-к какъв е коефициентът, който върви с него.

Тази теорема обикновено се приписва на английския изобретател, физик и математик сър Исак Нютон; Въпреки това бяха открити няколко документа, показващи, че в Близкия изток съществуването му вече е известно, около 1000 година.

индекс

• 1 комбинаторни числа
• 2 Демонстрация
• 3 Примери
  • 3.1 Идентичност 1
  • 3.2 Идентичност 2
• 4 Друга демонстрация
  • 4.1 Демонстрация чрез индукция
• 5 Любопитно
• 6 Препратки

Комбинаторни номера

Биномиалната теорема ни казва математически следното:

В този израз a и b са реални числа, а n е естествено число.

Преди да дадем демонстрация, нека видим някои основни понятия, които са необходими.

Комбинаторното число или комбинации от n в k се изразява, както следва:

Тази форма изразява стойността на това колко подмножества с k елементи могат да бъдат избрани от набор от n елемента. Алгебричният му израз се дава от:

Да видим един пример: да предположим, че имаме група от седем топки, от които две са червени, а останалите са сини.

Искаме да знаем колко начини можем да поръчаме подред. Един от начините може да бъде поставянето на двете червени в първата и втората позиция, а останалите топки в останалите позиции.

Подобно на предишния случай, бихме могли да дадем на червените топчета съответно първата и последната позиция и да заемем останалите със сини топки.

Сега, ефективен начин да преброите колко начини можем да поръчаме топки в един ред, е да използваме комбинаторните числа. Можем да видим всяка позиция като елемент от следния набор:

След това е необходимо само да изберете подмножество от два елемента, в които всеки един от тези елементи представлява позицията, която ще заемат червените топки. Можем да направим този избор според връзката, дадена от:

По този начин имаме 21 начина да сортирате такива топки.

Общата идея на този пример ще бъде много полезна при демонстрирането на биномната теорема. Нека разгледаме конкретен случай: ако n = 4, имаме (a + b)⁴, което не е нищо повече от:

Когато разработваме този продукт, имаме сумата от термините, получени чрез умножаване на елемент от всеки от четирите фактора (a + b). По този начин ще имаме термини, които ще са във формата:

Ако искаме да получим мандата на формуляра⁴, просто умножете по следния начин:

Имайте предвид, че има само един начин да се получи този елемент; но какво ще стане, ако сега потърсим термина на формуляра, за да²б²? Тъй като "а" и "б" са реални числа и следователно комутативният закон е валиден, ние имаме начин да получим този термин, за да се умножим с членовете, както е показано от стрелките.

Извършването на всички тези операции обикновено е донякъде досадно, но ако видим термина "а" като комбинация, в която искаме да знаем колко начини можем да изберем две "а" от набор от четири фактора, можем да използваме идеята на предишния пример. Така че имаме следното:

Така че, ние знаем, че в окончателното развитие на израза (a + b)⁴ ще имаме точно 6а²б². Използвайки същата идея за другите елементи, трябва да:

След това добавяме вече получените изрази и трябва да:

Това е официална демонстрация за общия случай, в който "n" е всяко естествено число.

шоу

Имайте предвид, че термините, които остават при разработването (a + b)^п са във формата до^кб^п-к, където k = 0,1, ..., n. Използвайки идеята на предишния пример, ние можем да изберем "k" променливите "а" от "n" факторите е:

Избирайки по този начин, автоматично избираме n-k променливи "b". От това следва, че:

Примери

Като се има предвид (a + b)⁵, Какво би било неговото развитие?

По биномната теорема трябва да:

Биномиалната теорема е много полезна, ако имаме израз, в който искаме да знаем какъв е коефициентът на даден термин, без да се налага да извършва пълното развитие. Като пример можем да вземем следния въпрос: кое е коефициентът x⁷и⁹ в развитието на (x + y)¹⁶?

От биномиалната теорема имаме, че коефициентът е:

Друг пример би бил: какъв е коефициентът x⁵и⁸ в развитието на (3x-7y)¹³?

Първо пренаписваме израза по удобен начин; това е:

Тогава, използвайки биномната теорема, имаме, че исканият коефициент е, когато имаме k = 5

Друг пример за използването на тази теорема е в демонстрацията на някои общи идентичности, като тези, споменати по-долу.

Идентичност 1

Ако „n“ е естествено число, трябва да:

За демонстрацията използваме биномиалната теорема, където "а" и "б" приемат стойността 1. Тогава имаме:

По този начин ние доказахме първата идентичност.

Идентичност 2

Ако "n" е естествено число, тогава

По биномната теорема трябва да:

Друга демонстрация

Можем да направим различна демонстрация за биномната теорема, използвайки индуктивния метод и паскалната идентичност, която ни казва, че ако "n" и "k" са положителни числа, които отговарят на n ≥ k, тогава:

Демонстрация чрез индукция

Първо нека видим, че индуктивната база е изпълнена. Ако n = 1, трябва да:

Наистина виждаме, че то е изпълнено. Сега нека n = j да е изпълнено:

Искаме да видим, че при n = j + 1 се изпълнява, че:

Затова трябва да:

По хипотеза знаем, че:

След това, използвайки разпределителното свойство:

Впоследствие, като разработваме всяко от обобщенията, имаме:

Сега, ако се групираме по удобен начин, трябва да:

Използвайки идентичността на паскал, трябва да:

И накрая, имайте предвид, че:

Затова виждаме, че биномиалната теорема е изпълнена за всички "n", принадлежащи към естественото число, и с това тестът завършва.

Любопитно

Комбинаторното число (nk) също се нарича биномиален коефициент, тъй като именно коефициентът се появява в развитието на бинома (a + b).^п.

Исак Нютон е дал обобщение на тази теорема за случая, в който експонентът е реално число; тази теорема е известна като биномна теорема на Нютон.

Още в древността този резултат е известен за конкретния случай, в който n = 2. Този случай се споменава в елементи на Евклиди.

препратки

1. Джонсънбау Ричард. Дискретна математика PhH
2. Kenneth.H. Дискретна математика и нейните приложения. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Seymour Lipschutz д-р и Марк Липсън. Дискретна математика. McGraw-Hill.
4. Ралф П. Грималди. Дискретна и комбинирана математика. Адисън-Уесли Ибероамерикана
5. Верде звезда Луис ... Дискретна математика и комбинатор