Състав, типове и примери за изометрични трансформации



на Изометрични трансформации това са промени в положението или ориентацията на определена фигура, които не променят нито формата, нито размера на фигурата. Тези трансформации се класифицират в три типа: превод, ротация и отражение (изометрия). Като цяло, геометричните трансформации позволяват създаването на нова фигура от друга дадена.

Трансформацията в геометрична фигура означава, че по някакъв начин тя е била подложена на някаква промяна; че е било променено. Според смисъла на оригинала и подобното в равнината геометричните трансформации могат да бъдат класифицирани в три типа: изометрични, изоморфни и анаморфни..

индекс

  • 1 Характеристики
  • 2 вида
    • 2.1 С превод
    • 2.2 Чрез въртене
    • 2.3 Чрез отражение или симетрия
  • 3 Състав
    • 3.1 Състав на превода
    • 3.2 Състав на ротация
    • 3.3 Състав на симетрия
  • 4 Препратки

функции

Изометричните трансформации се случват, когато са запазени величините на сегментите и ъглите между първоначалната фигура и трансформираната..

При този вид трансформация нито формата, нито размерът на фигурата се променят (те са еднакви), това е само промяна на позицията на фигурата или в ориентация, или в посоката. По този начин първоначалните и крайните цифри ще бъдат сходни и геометрично сходни.

Изометрията се отнася до равенство; което означава, че геометричните фигури ще бъдат изометрични, ако имат еднаква форма и размер.

При изометричните трансформации единственото нещо, което може да се наблюдава, е промяна на позицията в равнината, при което се получава твърдо движение, благодарение на което фигурата преминава от начална позиция към крайна позиция. Тази цифра се нарича хомоложна (подобна) на оригинала.

Има три вида движения, които класифицират една изометрична трансформация: транслация, ротация и отражение или симетрия.

тип

С превод

Са тези изометрии, които позволяват да се движат по права линия всички точки на равнината в дадена посока и разстояние.

Когато една фигура се преобразува чрез превод, тя не променя ориентацията си спрямо първоначалната позиция, нито губи вътрешните си мерки, мерките на своите ъгли и страни. Този тип изместване се определя от три параметъра:

- Адрес, който може да бъде хоризонтален, вертикален или наклонен.

- Смисъл, който може да бъде отляво, отдясно, нагоре или надолу.

- Разстояние или величина, която е дължината от началната позиция до края на всяка точка, която се движи.

За да бъде изпълнена изометрична трансформация чрез превод, тя трябва да отговаря на следните условия:

- Фигурата трябва винаги да държи всичките си размери, както линейни, така и ъглови.

- Фигурата не променя позицията си спрямо хоризонталната ос; неговият ъгъл никога не се променя.

- Преводите винаги ще бъдат обобщени в едно, независимо от броя на направените преводи.

В равнината, където центърът е точка O, с координати (0,0), транслацията се определя от вектор T (a, b), който показва изместването на началната точка. Това е:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Например, ако транслацията T (-4, 7) е приложена към координатната точка P (8, -2), получаваме:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

На следващото изображение (вляво) може да се види как точка C се движи, за да съвпадне с точка D. Това е направено във вертикална посока, посоката е нагоре, а разстоянието или магнитуда CD е 8 метра. В дясното изображение се наблюдава преводът на триъгълник:

Чрез въртене

Това са тези изометрии, които позволяват на фигурата да завърти всички точки на равнината. Всяка точка се върти след дъга, която има постоянен ъгъл и определена постоянна точка (център на въртене).

Това означава, че всяко завъртане ще се дефинира от неговия център на въртене и ъгъл на въртене. Когато една фигура се преобразува чрез въртене, тя запазва измерването на своите ъгли и страни.

Въртенето се извършва в определена посока, е положително, когато въртенето е обратно на часовниковата стрелка (противно на това как се въртят ръцете на часовника) и отрицателно, когато въртенето му е по посока на часовниковата стрелка.

Ако точка (x, y) се върти по отношение на произхода - т.е. центърът му на въртене е (0,0) -, под ъгъл 90или до 360или Координатите на точките ще бъдат:

В случаите, когато въртенето няма център в началото, произходът на координатната система трябва да бъде прехвърлен към новия даден произход, за да може да се завърти фигурата като център на произхода..

Например, ако на точка P (-5.2) е зададена ротация от 90или, около произхода и в положителен смисъл новите му координати ще бъдат (-2.5).

Чрез отражение или симетрия

Те са тези трансформации, които инвертират точките и фигурите на равнината. Тази инвестиция може да бъде по отношение на точка или може да бъде и по отношение на права линия.

С други думи, при този вид трансформация всяка точка от първоначалната фигура се свързва с друга точка (образ) на хомоложната фигура по такъв начин, че точката и нейният образ са на същото разстояние от линията, наречена ос на симетрия..

Така лявата част на фигурата ще бъде отражение на дясната част, без да променя формата или размерите му. Симетрията превръща една фигура в друга, макар и в обратна посока, както се вижда от следното изображение:

Симетрията присъства в много аспекти, като при някои растения (слънчоглед), животни (паун) и природни явления (снежинки). Човешкото я отразява на лицето си, което се счита за фактор на красотата. Отражението или симетрията могат да бъдат два вида:

Централна симетрия

Именно тази трансформация се проявява по отношение на точка, в която фигурата може да промени ориентацията си. Всяка точка от оригиналната фигура и нейният образ са на същото разстояние от точка O, наречена център на симетрия. Симетрията е централна, когато:

- Както точката, така и нейният образ и център принадлежат към една и съща линия.

- С въртене на 180или център O получавате цифра, равна на оригинала.

- Ходовете на началната цифра са успоредни на ходовете на формираната фигура.

- Смисълът на фигурата не се променя, той винаги ще бъде по часовниковата стрелка.

Тази трансформация се осъществява по отношение на оста на симетрия, където всяка точка от първоначалната фигура се свързва с друга точка на изображението и те са на същото разстояние от оста на симетрия. Симетрията е аксиална, когато:

- Сегментът, който свързва точка с неговия образ, е перпендикулярна на оста на симетрия.

- Цифрите променят посоката си спрямо завоя или по часовниковата стрелка.

- Когато разделим фигурата с централна линия (ос на симетрия), една от получените половини напълно съответства на друга половина.

композиция

Композиция от изометрични трансформации се отнася до последователното прилагане на изометрични трансформации на една и съща фигура.

Състав на превода

Съставянето на два превода има за резултат друг превод. Когато се извършва в равнината, върху хоризонталната ос (x) се променят само координатите на тази ос, докато координатите на вертикалната ос (y) остават същите, и обратно.

Състав на ротация

Съставът на два завоя със същия център води до друг завой, който има същия център и чиято амплитуда ще бъде сумата от амплитудите на двата оборота..

Ако центърът на завоите има различен център, разрезът на ситекторите на два сегмента от подобни точки ще бъде център на завой.

Състав на симетрия

В този случай съставът ще зависи от начина, по който се прилага:

- Ако една и съща симетрия се прилага два пъти, резултатът ще бъде идентичност.

- Ако се прилагат две симетрии по отношение на две успоредни оси, резултатът ще бъде превод, а неговото изместване е два пъти по-голямо от разстоянието между осите:

- Ако се прилагат две симетрии по отношение на две оси, които са отрязани в точката O (център), ще се получи въртене с център при O и неговият ъгъл ще бъде два пъти по-голям от ъгъла, образуван от осите:

препратки

  1. V Burgués, J.F. (1988). Материали за изграждане на геометрия. Мадрид: синтез.
  2. Cesar Calavera, I. J. (2013). Технически чертеж II. Paraninfo S.A: Ediciones de la Torre.
  3. Coxeter, H. (1971). Основи на геометрията Мексико: Limusa-Wiley.
  4. Коксфорд, А. (1971). Подход за трансформация на геометрията. САЩ: Братя Лаидлоу.
  5. Liliana Siñeriz, R. S. (2005). Индукция и формализация в преподаването на твърдите трансформации в средата на CABRI.
  6. , P.J. (1996). Групата на равнинни изометрии. Мадрид: синтез.
  7. Suárez, A. C. (2010). Трансформации в самолета. Гурабо, Пуерто Рико: AMCT .