Преобразувана дефиниция на Лаплас, история, за какво е тя, свойства



на трансформиран от Лаплас е в последните години от голямо значение в изследванията на инженерство, математика, физика, наред с други научни области, както и че е от голям интерес в теоретичната, осигурява лесен начин за решаване на проблеми, които идват от науката и инженерството.

Първоначално преобразуването на Лаплас беше представено от Пиер-Саймън Лаплас в неговото изследване на теорията на вероятността и първоначално се разглеждаше като математически обект само от теоретичен интерес..

Сегашните приложения възникват, когато различни математици се опитват да дадат формална обосновка на "оперативните правила", използвани от Heaviside в изучаването на уравненията на електромагнитната теория.

индекс

  • 1 Определение
    • 1.1 Примери
    • 1.2 Теорема (Достатъчни условия за съществуване)
    • 1.3 Лапласово преобразуване на някои основни функции
  • 2 История
    • 2.182, Лаплас
    • 2.2 Oliver Heaviside
  • 3 Свойства
    • 3.1 Линейност
    • 3.2 Теорема за първия превод
    • 3.3 Теорема за втори превод
    • 3.4 Смяна на мащаба
    • 3.5 Преобразуване на Лаплас от производни
    • 3.6 Лапласово преобразуване на интеграли
    • 3.7 Умножение по tn
    • 3.8 Разделяне по t
    • 3.9 Периодични функции
    • 3.10 Поведение на F (s), когато s има тенденция към безкрайност
  • 4 Обратни трансформации
    • 4.1 Упражнение
  • 5 Приложения на преобразуването на Лаплас
    • 5.1 Диференциални уравнения
    • 5.2 Системи на диференциални уравнения
    • 5.3 Механика и електрически вериги
  • 6 Препратки

дефиниция

Нека f е функция, дефинирана за t ≥ 0. Трансформацията на Лаплас е дефинирана както следва:

Казва се, че преобразуването на Лаплас съществува, ако предишният интеграл се сближава, в противен случай се казва, че преобразуването на Лаплас не съществува.

Като цяло, за да се обозначи функцията, която човек иска да трансформира, се използват малки букви и буквата съответства на нейната трансформация. По този начин ще имаме:

Примери

Разгледайте постоянната функция f (t) = 1. Имаме, че нейното преобразуване е:

Всеки път, когато интегралът се слива, това винаги е при условие, че s> 0. В противен случай s < 0, la integral diverge.

Нека g (t) = t. Вашата трансформация на Лаплас се дава от

Чрез интегриране по части и знаейки, че вие-во има тенденция към 0, когато t се стреми към безкрайност, а s> 0, заедно с предишния пример имаме, че:

Трансформацията може или не може да съществува, например за функцията f (t) = 1 / t интегралът, който дефинира неговата трансформация на Лаплас, не се сближава и следователно неговата трансформация не съществува.

Достатъчни условия, за да се гарантира, че преобразуването на Лаплас на функция f съществува, е, че f е непрекъснато по части за t ≥ 0 и е с експоненциален ред.

Казва се, че една функция е непрекъсната по части за t ≥ 0, когато за всеки интервал [a, b] с a> 0 има краен брой точки tк, където f има прекъсвания и е непрекъснато във всеки подинтервал [tК-1,тк].

От друга страна се казва, че една функция е с експоненциален ред c, ако има реални константи M> 0, c и T> 0, така че:

Като примери имаме, че f (t) = t2 е на експоненциален ред, тъй като | t2| < e3т за всички t> 0.

По формален начин имаме следната теорема

Теорема (Достатъчни условия за съществуване)

Ако f е непрекъсната функция на част за t> 0 и експоненциален ред c, тогава има преобразуване на Лаплас за s> c.

Важно е да се подчертае, че това е условие за достатъчност, т.е. може да има функция, която не отговаря на тези условия и дори тогава нейната трансформация на Лаплас съществува..

Пример за това е функцията f (t) = t-1/2 който не е непрекъснат по части за t ≥ 0, но неговата Laplace трансформация съществува.

Лапласово преобразуване на някои основни функции

Следващата таблица показва преобразуванията на Лаплас на най-често срещаните функции.

история

Преобразуването на Лаплас дължи името си на Пиер-Саймън Лаплас, математик и френски теоретичен астроном, роден през 1749 г. и починал през 1827 г. Неговата слава била такава, че той бил известен като Нютон на Франция..

През 1744 г. Леонард Ойлер посвещава изследванията си на интеграли с формата

като решения на обикновени диференциални уравнения, но бързо се отказаха от това изследване. По-късно Джоузеф Луи Лагранж, който много се възхищаваше на Ойлер, също изследва този тип интеграли и ги свързва с теорията на вероятността..

1782, Лаплас

През 1782 г. Лаплас започва да изучава тези интеграли като решения на диференциални уравнения и според историците, през 1785 г. той решава да преформулира проблема, който по-късно ражда трансформациите на Лаплас, както се разбира днес.

След като беше въведена в областта на теорията на вероятностите, тя не представляваше интерес за учените от онова време и се разглеждаше само като математически обект само от теоретичен интерес..

Оливър Хависайд

Именно в средата на деветнадесети век английският инженер Оливър Хависайд открил, че диференциалните оператори могат да бъдат третирани като алгебрични променливи, като по този начин тяхното модерно приложение се превръща в преобразуването на Лаплас..

Оливър Хависайд е английски физик, електроинженер и математик, който е роден през 1850 г. в Лондон и умира през 1925 година. модерни приложения на преобразуванията на Лаплас.

Резултатите от Heaviside се разпространиха бързо в цялата научна общност по онова време, но тъй като работата му не беше строга, бързо я критикуваха по-традиционните математици..

Въпреки това, полезността на работата на Heaviside в решаването на уравнения на физиката направи неговите методи популярни сред физиците и инженерите.

Въпреки тези пречки и след няколко десетилетия на неуспешни опити, в началото на 20-ти век може да се даде строго оправдание на оперативните правила, дадени от Heaviside..

Тези опити се отплатиха благодарение на усилията на различни математици като Бромуич, Карсън, ван дер Пол и др..

свойства

Сред свойствата на преобразуването на Лаплас се открояват следните:

линейност

Нека c1 и c2 са константи и f (t) и g (t) функции, чиито трансформации на Лаплас са F (s) и G (s) съответно, тогава трябва да:

Поради това свойство се казва, че преобразуването на Лаплас е линеен оператор.

пример

Теорема за първия превод

Ако се случи това:

А "а" е всяко реално число, след което:

пример

Като преобразуване на Лаплас на cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4) след това:

Втора теорема за превода

ако

след това

пример

Ако f (t) = t ^ 3, то F (s) = 6 / s ^ 4. И следователно, трансформацията на

е G (s) = 6e-2s/ s ^ 4

Промяна на мащаба

ако

И "а" е ненулева реалност, ние трябва

пример

Тъй като преобразуването на f (t) = sin (t) е F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), то трябва да бъде

Преобразуване на Лаплас от производни

Ако f, f ', f ", ..., f(N) са непрекъснати за t ≥ 0 и са с експоненциален ред и f(N)(t) е непрекъснато в части за t ≥ 0, след това

Лапласово преобразуване на интеграли

ако

след това

Умножение по tп

Ако трябва

след това

Разделение по t

Ако трябва

след това

Периодични функции

Нека f е периодична функция с период T> 0, т.е. f (t + T) = f (t), тогава

Поведение на F (s), когато s има тенденция към безкрайност

Ако f е непрекъсната в части и експоненциален ред и

след това

Обратни трансформации

Когато приложим преобразуването на Лаплас към функция f (t), получаваме F (s), което представлява тази трансформация. По същия начин можем да кажем, че f (t) е обратната Лапласова трансформация на F (s) и е записана като

Знаем, че преобразуванията на Лаплас на f (t) = 1 и g (t) = t са F (s) = 1 / s и G (s) = 1 / s.2 съответно ние трябва

Някои общи обратни преобразувания на Лаплас са следните

В допълнение, обратната трансформация на Лаплас е линейна, т.е. тя е изпълнена

упражнение

намирам

За да решим това упражнение, трябва да съответстваме на функцията F (s) с една от предишната таблица. В този случай, ако вземем n + 1 = 5 и използваме свойството на линейността на обратното преобразуване, се умножаваме и разделяме на 4! получаване на

За втората обратна трансформация прилагаме частични фракции за пренаписване на функцията F (s) и след това на свойството на линейността, получавайки

Както можем да видим от тези примери, обичайно е, че оценяваната функция F (s) не се съгласува точно с някоя от функциите, дадени в таблицата. За тези случаи, както се наблюдава, достатъчно е да се пренапише функцията до достигане на подходящата форма.

Приложения на преобразуването на Лаплас

Диференциални уравнения

Основното приложение на преобразуванията на Лаплас е за решаване на диференциални уравнения.

Използвайки свойството на преобразуването на производна, е ясно, че

А на n-1 производните, оценени при t = 0.

Това свойство прави трансформацията много полезна за решаване на задачи на първоначалната стойност, в които участват диференциални уравнения с постоянни коефициенти.

Следните примери показват как се използва преобразуването на Лаплас за решаване на диференциални уравнения.

Пример 1

Като се има предвид следния първоначален проблем

Използвайте преобразуването на Лаплас, за да намерите решението.

Ние прилагаме преобразуването на Лаплас към всеки член на диференциалното уравнение

За свойството на преобразуването на производно имаме

Чрез развиване на целия израз и изчистването ни остава

Използвайки частични фракции, за да пренапишем дясната страна на уравнението, което получаваме

И накрая, нашата цел е да намерим функция y (t), която отговаря на диференциалното уравнение. Използването на обратната трансформация на Лаплас ни дава резултат

Пример 2

решавам

Както и в предишния случай, прилагаме трансформацията от двете страни на уравнението и отделен термин по термин.

По този начин имаме резултат

Заместване с дадени начални стойности и изчистване на Y (s)

С помощта на прости фракции можем да пренапишем уравнението по следния начин

И прилагането на обратната трансформация на Лаплас ни дава като резултат

В тези примери може да се стигне до погрешен извод, че този метод не е много по-добър от традиционните методи за решаване на диференциални уравнения.

Предимствата, които предлага трансформацията на Лаплас, са, че не е необходимо да се използват вариации на параметрите или да се притеснявате за различните случаи на метода на неопределен коефициент..

В допълнение към решаването на задачите на първоначалната стойност по този метод, от самото начало се използват първоначалните условия, така че не е необходимо да се извършват други изчисления за намиране на конкретното решение..

Системи на диференциални уравнения

Преобразуването на Лаплас може да се използва и за намиране на решения за едновременни обикновени диференциални уравнения, както показва следният пример.

пример

решавам

При началните условия x (0) = 8 e и (0) = 3.

Ако трябва

след това

Решаването на резултатите в нас

И когато прилагаме обратната трансформация на Лаплас, имаме

Механика и електрически вериги

Преобразуването на Лаплас е от голямо значение във физиката, основно има приложения за механични и електрически вериги.

Една проста електрическа верига се състои от следните елементи

Превключвател, батерия или източник, индуктор, резистор и кондензатор. Когато превключвателят е затворен се получава електрически ток, който се обозначава с i (t). Зарядът на кондензатора се обозначава с q (t).

Чрез втория закон на Kirchhoff напрежението, произвеждано от източника E на затворената верига, трябва да бъде равно на сумата на всяко от спада на напрежението.

Електрическият ток i (t) е свързан с заряда q (t) в кондензатора чрез i = dq / dt. От друга страна, спадът на напрежението се определя във всеки от елементите както следва:

Падането на напрежението в резистор е iR = R (dq / dt)

Падането на напрежението в индуктор е L (di / dt) = L (d2q / dt2)

Падането на напрежението в кондензатор е q / c

С тези данни и прилагане на втория закон Кирххоф към затворената проста схема се получава диференциално уравнение от втори ред, което описва системата и ни позволява да определим стойността на q (t).

пример

Индуктор, кондензатор и резистор са свързани към батерия Е, както е показано на фигурата. В индуктор е от 2 henries, кондензатор с 0,02 farads и съпротивление от 16 onhm. В момент t = 0 веригата е затворена. Намерете товара и тока по всяко време t> 0, ако E = 300 волта.

Имаме, че диференциалното уравнение, което описва тази верига, е следното

Където началните условия са q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Прилагайки преобразуването на Лаплас, получаваме това

И изчистване на Q (t)

След това прилагаме обратната трансформация на Лаплас, която имаме

препратки

  1. G. Holbrook, J. (1987). Лаплас трансформира за инженери по електроника. Limusa.
  2. Ruiz, L. M., & Hernandez, M. P. (2006). Диференциални уравнения и преобразуване на Лаплас с приложения. Редакция UPV.
  3. Симънс, Г. Ф. (1993). Диференциални уравнения с приложения и исторически бележки. McGraw-Hill.
  4. Spiegel, M. R. (1991). Laplace Transforms. McGraw-Hill.
  5. Zill, D. G., & Cullen, M. R. (2008). Диференциални уравнения с проблеми на стойностите на границата. Cengage Learning Editores, S.A..