Триномия на формата x ^ 2 + bx + c (с примери)

Преди да се научите да решавате проблема триномия на формата x ^ 2 + bx + c, и дори преди да разберем концепцията за триномията, е важно да знаем две съществени понятия; а именно концепциите за мономията и полинома. Мономиал е израз на типа a * x^п, където a е рационално число, n е естествено число и x е променлива.

Полиномът е линейна комбинация от мономи от вида а_п* x^п+за_N-1* x^N-1+... + a₂* x²+за₁* x + a₀, където всеки a_аз, с i = 0, ..., n е рационално число, n е естествено число и a_n е ненулева. В този случай се казва, че степента на полинома е n.

Полином, формиран от сумата от само два члена (две мономи) от различни степени, е известен като бином.

индекс

• 1 Триноми
  • 1.1 Перфектен квадратен трином
• 2 Характеристики на триноми от степен 2
  • 2.1 Перфектен квадрат
  • 2.2 Формула на разтворителя
  • 2.3 Геометрична интерпретация
  • 2.4 Факторизиране на триноми
• 3 Примери
  • 3.1 Пример 1
  • 3.2 Пример 2
• 4 Препратки

trinomials

Полином, формиран от сумата от само три термина (три монома) от различни степени, е известен като трином. Следват примери за триноми:

• х³+х²+5х
• 2x⁴-х³+5
• х²+6x + 3

Има няколко вида триноми. От тях се подчертава идеалният квадратен трином.

Перфектен квадратен трином

Перфектният квадратен трином е резултат от повишаване на биномията на квадрат. Например:

• (3x-2)²= 9x²-12x + 4
• (2x³+у)²= 4x⁶+4x³y + y²
• (4x²-2г⁴)²= 16x⁴-16x²и⁴+4у⁸
• 1 / 16x²и⁸-1 / 2xy⁴z + z²= (1/4xy⁴)²-2 (1/4xy⁴) z + z²= (1/4xy⁴-щ)²

Характеристики на триноми степен 2

Идеален квадрат

Като цяло, триномен от формата ax²+bx + c е перфектен квадрат, ако дискриминантът му е равен на нула; ако е b²-4ac = 0, тъй като в този случай той ще има само един корен и може да бъде изразен във формата a (x-d)²= ((A (x-d))², където d е коренът, вече споменат.

Коренът на полинома е число, в което полиномът става нула; с други думи, число, което чрез замяна в x в израза на полинома води до нула.

Формула на разтворителя

Обща формула за изчисляване на корените на полином от втората степен на формата ax²+bx + c е формулата на резолвера, която гласи, че тези корени са дадени от (-b ± √ (b.)²-4ac)) / 2a, където b²-4ac е известен като дискриминант и обикновено се обозначава с Δ. От тази формула следва брадвата²+bx + c има:

- Две различни истински корени, ако Δ> 0.

- Един истински корен, ако Δ = 0.

- Тя няма реален корен, ако Δ<0.

По-долу ще разгледаме само триноми от формата х²+bx + c, където ясно c трябва да бъде ненулево число (в противен случай биномът). Този тип триноми имат определени предимства при факторинг и работа с тях.

Геометрична интерпретация

Геометрично, триножният x²+bx + c е парабола, която се отваря нагоре и има връх в точката (-b / 2, -b²/ 4 + в) на декартовата равнина, защото х²+bx + c = (x + b / 2)²-б²/ 4 + c.

Тази парабола отрязва ос Y в точката (0, c) и ос X в точките (d)₁,0) и (d)₂,0); след това, d₁ и d₂ те са корените на триномията. Може да се случи, че триномът има един корен d, в който случай единственият разрез с оста X ще бъде (d, 0).

Може също така да се случи, че триномът няма реални корени, в който случай той няма да отреже оста X в която и да е точка.

Например x²+6x + 9 = (x + 3)²-9 + 9 = (x + 3)² е параболата с връх в (-3,0), която пресича ос Y в (0,9) и оста Х в (-3,0).

Триномиална факторизация

Много полезен инструмент при работа с полиноми е факторингът, който е израз на полином като продукт на фактори. Като цяло, като се има предвид триномия на формата х²+bx + c, ако това има два различни корена d₁ и d₂, тя може да бъде изчислена като (x-d)₁) (x-d)₂).

Ако имате само един корен d, можете да го определите като (x-d) (x-d) = (x-d)², и ако няма истински корени, то остава същото; в този случай той не подкрепя факторизацията като продукт на фактори, различни от него.

Това означава, че познавайки корените на триномията на вече установената форма, нейната факторизация може лесно да бъде изразена и както вече бе споменато, тези корени винаги могат да се определят с помощта на разтворителя..

Въпреки това, има значително количество от този тип триноми, които могат да бъдат отчетени без предварително да се знаят техните корени, което опростява работата.

Корените могат да се определят директно от факторизацията, без да е необходимо да се използва формулата на резолвера; това са полиномите от вида х² +(a + b) x + ab. В този случай имате:

х²+(a + b) x + ab = x²+ax + bx + ab = x (х + а) + б (х + а) = (х + б) (х + а).

Оттук лесно се забелязва, че корените са -a и -b.

С други думи, като се има предвид триномен х²+bx + c, ако има две числа u и v такива, че c = uv и b = u + v, тогава x²+bx + c = (x + u) (x + v).

Тоест е даден триномен х²+bx + c, първо проверете дали има две числа, които умножават den на независимия член (c) и се добавят (или изваждат, в зависимост от случая), дайте термина, който придружава x (b).

Този метод не може да се приложи с всички триноми по този начин; където не можете, отидете в резолвента и приложите гореспоменатото.

Примери

Пример 1

Факторът на следния трином x²+3x + 2, както следва:

Трябва да намерите два числа, така че когато ги добавите, резултатът е 3, а когато ги умножите, резултатът е 2.

След извършване на проверка може да се заключи, че търсените числа са: 2 и 1. Следователно, x²+3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Пример 2

Да факторизира триножката x²-5x + 6 търсим две числа, чиято сума е -5, а нейният продукт е 6. Числата, които отговарят на тези две условия, са -3 и -2. Следователно, факторизацията на дадения тринож е x²-5x + 6 = (х-3) (х-2).

препратки

1. Източници, А. (2016). ОСНОВНА МАТЕМАТИКА. Въведение в изчислението. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Математика: квадратични уравнения: Как се решава квадратично уравнение. Marilù Garo.
3. Haeussler, Е. F., & Paul, R. S. (2003). Математика за администрация и икономика. Образование в Пиърсън.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. праг.
5. Preciado, C. T. (2005). Курс по математика 3о. Редакция Progreso.
6. Рок, Н. М. (2006). Алгебрата ми е лесна! Толкова лесно. Екип Рок Прес.
7. Sullivan, J. (2006). Алгебра и тригонометрия. Образование в Пиърсън.