Равнобедрени триъгълни характеристики, формула и област, изчисление



а равнобедрен триъгълник Това е тристранен многоъгълник, където два от тях имат едно и също измерване, а третата - различно измерване. Тази последна страна се нарича база. Благодарение на тази характеристика му е дадено това име, което на гръцки означава "равни крака"

Триъгълниците са многоъгълници, които се считат за най-прости в геометрията, защото са формирани от три страни, три ъгъла и три върха. Те са тези, които имат най-малък брой страни и ъгли по отношение на другите полигони, но използването му е много широко.

индекс

  • 1 Характеристики на равнобедрени триъгълници
    • 1.1 Компоненти
  • 2 Свойства
    • 2.1 Вътрешни ъгли
    • 2.2 Сума на страните
    • 2.3 Подобни страни
    • 2.4 Сходни ъгли
    • 2.5 Височината, медианата, bisector и bisector са съвпадащи
    • 2.6 Относителни височини
    • 2.7 Ортоцентърът, барицентърът, стимулаторът и окръжният център съвпадат
  • 3 Как да изчислим периметъра?
  • 4 Как да изчислим височината?
  • 5 Как да се изчисли площта?
  • 6 Как да изчислим основата на триъгълника?
  • 7 Упражнения
    • 7.1 Първо упражнение
    • 7.2 Второ упражнение
    • 7.3 Трето упражнение
  • 8 Препратки

Характеристики на равнобедрени триъгълници

Равнобедреният триъгълник е класифициран като мярка за неговите страни като параметър, тъй като две от неговите страни са еднакви (имат еднаква дължина).

Според амплитудата на вътрешните ъгли, равнобедрените триъгълници са класифицирани като:

  • Правоъгълен равнобедрен триъгълник: две от страните му са равни. Един от неговите ъгли е прав (90. \ Tили), а останалите са едни и същи (45или всеки един)
  • Равнобедрен триъгълник с тъп ъгъл: две от страните му са равни. Един от неговите ъгли е тъп (> 90или).
  • Еднозвезден остър ъглов триъгълник: две от страните му са равни. Всички ъгли са остри (< 90или), където две имат една и съща мярка.

елементи

  • Медианата: е линия, която излиза от средата на едната страна и достига противоположния връх. Трите медиани се съгласуват в точка, наречена центроид или центроид.
  • Ситекторът: е лъч, който разделя ъгъла на всеки връх на два ъгъла с еднакъв размер. Ето защо тя е известна като оста на симетрия и този тип триъгълници има само една.
  • Медиатрицата: е сегмент, перпендикулярен на страната на триъгълника, която произхожда в средата на това. Има три медиатрици в триъгълник и те се съгласуват в точка наречена circuncentro.
  • Височината: е линията, която върви от върха към страната, която е противоположна, а също и тази линия е перпендикулярна на тази страна. Всички триъгълници имат три височини, които съвпадат в точка, наречена ортоцентър.

свойства

Равнобедрените триъгълници са дефинирани или идентифицирани, защото имат няколко свойства, които ги представляват, произтичащи от теоремите, предложени от великите математици:

Вътрешни ъгли

Сумата на вътрешните ъгли винаги е равна на 180или.

Сума на страните

Сумата от мерките на двете страни трябва винаги да бъде по-голяма от мярката на третата страна, a + b> c.

Сходни страни

Равнобедрените триъгълници имат две страни със същата мярка или дължина; тоест, те са еднакви и третата страна е различна от тях.

Сходни ъгли

Равнобедрените триъгълници също са известни като триъгълници с изо-ъгли, защото имат два ъгъла, които имат една и съща мярка (конгруент). Те са разположени в основата на триъгълника, противоположно на страните, които имат еднаква дължина.

Поради това, теоремата, която установява, че:

"Ако триъгълник има две еднакви страни, ъглите срещу тези страни също ще бъдат еднакви." Следователно, ако един триъгълник е равнобедрен, ъглите на неговите бази са еднакви.

например:

Следващата фигура показва триъгълник ABC. Чрез проследяване на своята симетрия от върха на ъгъл B до основата, триъгълникът е разделен на два триъгълника, равни на BDA и BDC:

По този начин ъгълът на върха В също беше разделен на два равни ъгъла. Сега симулатора е страна (BD) обща между тези две нови триъгълници, докато страните AB и BC са конгруентни страни. Така че имате случая на сходство, ъгъл, страна (LAL).

Това показва, че ъглите на върховете А и С имат една и съща мярка, също както може да се покаже, че тъй като триъгълниците BDA и BDC са еднакви, AD и DC страниците също са еднакви..

Височината, медианата, ситекторите и ситекторите са съвпадащи

Линията, която се изтегля от върха, противоположна на основата, до средата на основата на равнобедрения триъгълник, е едновременно височина, медиана и бисектриса, както и бисектъра спрямо противоположния ъгъл на основата..

Всички тези сегменти съвпадат в една, която ги представлява.

например:

Следващата фигура показва триъгълника ABC със средна точка M, която разделя основата на два сегмента BM и CM.

Когато нарисувате сегмент от точката М до обратния връх, по дефиниция получавате медианното АМ, което е относително спрямо върха А и страната на ВС..

Тъй като AM сегментът разделя триъгълника ABC на два равни триъгълника AMB и AMC, това означава, че случайът на странична, ъглова, странична конгруенция ще бъде взет и следователно AM ще бъде и бисектриса на BÂC.

Ето защо bisector винаги ще бъде равен на медианата и обратно.

AM сегментът формира ъгли, които имат една и съща мярка за AMB и AMC триъгълници; тоест, те са допълнителни по такъв начин, че мярката на всеки един ще бъде:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180или

2 * (AMC) = 180или

(AMC) = 180или . 2

(AMC) = 90или

Може да се знае, че ъглите, образувани от АМ сегмента по отношение на основата на триъгълника, са прави, което показва, че този сегмент е напълно перпендикулярен на основата..

Затова тя представлява височината и ситемата, знаейки, че М е средата.

Следователно правата AM:

  • Представлява височината на БЦ.
  • Тя е средна.
  • Тя се съдържа в медиатрицата на БЦ.
  • Това е bisector на ъгъла на върха Â

Относителни височини

Височините, които са относително равностойни, също имат една и съща мярка.

Тъй като равнобедрен триъгълник има две равни страни, двете им съответни височини също ще бъдат равни.

Ортоцентърът, барицентърът, стимулаторът и окръжният център съвпадат

Тъй като височината, медианата, бисектриса и бисектриса спрямо основата, са представени едновременно от един и същ сегмент, ортоцентърът, центроцентричният стимулатор и окръжност ще бъдат колинеарни точки, т.е.

Как да изчислим периметъра?

Периметърът на полигона се изчислява по сумата на страните.

Тъй като в този случай равнобедреният триъгълник има две страни със същата мярка, неговият периметър се изчислява по следната формула:

P = 2*(страна а) + (страна б).

Как да изчислим височината?

Височината е линията, перпендикулярна на основата, разделя триъгълника на две равни части, като се простира до обратния връх.

Височината представлява противоположния крак (а), половината от основата (б / 2) до съседния крак и "а" страна представлява хипотенузата.

Използвайки Питагоровата теорема, можете да определите стойността на височината:

за2 + б2 = в2

когато:

за2 = височина (h).

б2 = b / 2.

в2 = страна a.

Подмяната на тези стойности в Питагоровата теорема и изчистване на височината имаме:

з2 + (б / 2)2 = за2

з2 + б2 / 4 = за2

з2 = за2 - б2 / 4

h = √ (за2 - б2 / 4).

Ако е известен ъгълът, образуван от съответстващите страни, височината може да се изчисли по следната формула:

Как да се изчисли площта?

Площта на триъгълниците винаги се изчислява по същата формула, умножаваща базата по височина и разделяща се на две:

Има случаи, при които са известни само измерванията на две страни на триъгълника и ъгълът, който е образуван между тях. В този случай, за да се определи площта, е необходимо да се прилагат тригонометричните съотношения:

Как да изчислим основата на триъгълника?

Тъй като равнобедреният триъгълник има две равни страни, за да се определи стойността на неговата основа, трябва да се знае поне мярката за височината или един от нейните ъгли.

Знаейки височината се използва Питагоровата теорема:

за2 + б2 = c2

когато:

за2 = височина (h).

в2 = страна a.

б2 = b / 2, не е известно.

Изчистихме b2 на формулата и трябва да:

б2 = a2 - в2

b = √ a2 - в2

Тъй като тази стойност съответства на половината от основата, тя трябва да се умножи по две, за да се получи пълната мярка на основата на равнобедрения триъгълник:

b = 2 * (. A2 - в2)

В случай, че са известни само стойността на равните му страни и ъгълът между тях, се прилага тригонометрия, която проследява линия от върха до основата, която разделя равнобедрения триъгълник на два прави триъгълника.

По този начин половината от базата се изчислява с:

Възможно е също така да е известна само стойността на височината и ъгъла на върха, която е противоположна на основата. В този случай чрез тригонометрията базата може да бъде определена:

обучение

Първо упражнение

Намерете зоната на равнобедрения триъгълник ABC, като знаете, че две от страните му са с размери 10 см, а третата - 12 см..

разтвор

За да се намери площта на триъгълника е необходимо да се изчисли височината, като се използва формулата на областта, която е свързана с Питагоровата теорема, тъй като стойността на ъгъла, образуван между равните страни, не е известен.

Имаме следните данни за равнобедрения триъгълник:

  • Равни страни (а) = 10 cm.
  • Основа (b) = 12 cm.

Стойностите във формулата се заменят:

Второ упражнение

Дължината на двете равни страни на равнобедрен триъгълник възлиза на 42 см, като обединяването на тези страни образува ъгъл от 130или. Определете стойността на третата страна, областта на този триъгълник и периметъра.

разтвор

В този случай са известни измерванията на страните и ъгъла между тях.

За да се знае стойността на липсващата страна, т.е. основата на този триъгълник, се прави линия, перпендикулярна на нея, като се разделя ъгълът на две равни части, по една за всеки правилен триъгълник.

  • Равни страни (а) = 42 cm.
  • Ъгъл (Ɵ) = 130или

Сега чрез тригонометрията се изчислява стойността на половината от основата, която съответства на половината от хипотенузата:

За да се изчисли площта е необходимо да се знае височината на този триъгълник, която може да се изчисли чрез тригонометрия или по Питагоровата теорема, сега, когато стойността на базата вече е определена.

С тригонометрията ще бъде:

Периметърът се изчислява:

P = 2*(страна а) + (страна б).

P = 2* (42 см) + (76 см)

Р = 84 cm + 76 cm

Р = 160 cm.

Трето упражнение

Изчислете вътрешните ъгли на равнобедрения триъгълник, като знаете, че ъгълът на основата е Â = 55или

разтвор

За да намерите двата липсващи ъгли (Ô и Ô) е необходимо да запомните две свойства на триъгълниците:

  • Сумата от вътрешните ъгли на всеки триъгълник винаги ще бъде = 180или:

 + Ê + Ô = 180 или

  • В равнобедрен триъгълник ъглите на основата винаги са еднакви, т.е. имат една и съща мярка, следователно:

 = Ô

Ê = 55или

За да определите стойността на ъгъла Ê, заменете стойностите на другите ъгли в първото правило и ясни Ê:

55или + 55или + Ô = 180 или

110 или + Ô = 180 или

Ô = 180 или - 110 или

Ô = 70 или.

препратки

  1. Álvarez, E. (2003). Елементи на геометрията: с многобройни упражнения и геометрия на компаса. Университет в Меделин.
  2. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Технически чертеж: тетрадка за дейности.
  3. Ангел, А. Р. (2007). Елементарна алгебра Образование в Пиърсън.
  4. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.
  5. Baldor, A. (1941). Алгебра. Хавана: Култура.
  6. José Jiménez, L. J. (2006). Математика 2.
  7. Tuma, J. (1998). Ръководство за инженерна математика. Wolfram MathWorld.