Аксиоматични характеристики, стъпки, примери



на аксиоматичен метод или също така наречена аксиоматика е формална процедура, използвана от науките, чрез която се формулират твърдения или предложения, наречени аксиоми, свързани помежду си чрез отношение на приспадане и които са в основата на хипотезата или условията на дадена система.

Това общо определение трябва да бъде оформено в рамките на еволюцията, която тази методология е имала през цялата история. Първо, съществува древен метод или съдържание, роден в Древна Гърция от Евклид, а по-късно разработен от Аристотел.

Второ, още през деветнадесети век, появата на геометрия с аксиоми, различни от тези на Евклид. И накрая, формалният или модерният аксиоматичен метод, чийто максимален показател е Дейвид Хилбърт.

Отвъд развитието си с течение на времето, тази процедура е в основата на дедуктивния метод, използван в геометрията и логиката, откъдето е възникнал. Използва се и във физиката, химията и биологията.

Той дори е бил приложен в правната наука, социологията и политическата икономия. Понастоящем обаче най-важната сфера на приложение е математиката и символичната логика и някои области на физиката като термодинамиката, механиката, наред с други дисциплини..

индекс

  • 1 Характеристики 
    • 1.1 Стар аксиоматичен метод или съдържание 
    • 1.2. Неевклидов аксиоматичен метод
    • 1.3 Модерен или формален аксиоматичен метод
  • 2 стъпки 
  • 3 Примери
  • 4 Препратки

функции

Въпреки че основната характеристика на този метод е формулирането на аксиоми, те не винаги са били разглеждани по същия начин.

Има някои, които могат да бъдат дефинирани и конструирани по произволен начин. И други, според модел, в който се разглежда неговата интуитивно гарантирана истина.

За да се разбере конкретно от какво се състои тази разлика и нейните последици, е необходимо да се преразгледа еволюцията на този метод.

Стар аксиоматичен метод или съдържание 

Той е установен в Древна Гърция около 5 век пр. Хр. Неговата сфера на приложение е геометрията. Основната работа на този етап са елементите на Евклид, въпреки че се смята, че преди него Питагор вече е родил аксиоматичния метод..

Така гърците приемат някои факти като аксиоми, без да изискват каквото и да е логическо доказателство, т.е. без необходимост от демонстрация, тъй като за тях те са очевидна истина.

От своя страна Евклид представя пет аксиоми за геометрията:

1 - Дадени са две точки, има ред, който ги съдържа или ги свързва.

2 - Всеки сегмент може да продължи непрекъснато по неограничена линия от двете страни.

3-Можете да нарисувате кръг, който има център във всяка точка и радиус.

4-десните ъгли са еднакви.

5-Взимайки каквато и да е права линия и всяка точка, която не е в нея, има права линия, успоредна на тази и съдържаща тази точка. Тази аксиома е позната, по-късно, като аксиома на паралелите и е обявена и като: от точка извън линия може да се направи една паралела.

Въпреки това, както Евклид, така и по-късно математиците, са съгласни, че петата аксиома не е толкова ясна интуитивно като другите 4. Дори по време на Възраждането се опитва да изведе петата от другите 4, но не е възможно.

Това прави, че още през деветнадесети век тези, които поддържаха петте, бяха привърженици на евклидовата геометрия и тези, които отрекоха петата, бяха тези, които създадоха неевклидовите геометрии.

Неевклидов аксиоматичен метод

Именно Николай Иванович Лобачевски, Янош Боляй и Йохан Карл Фридрих Гаус виждат възможността да конструират, без противоречие, геометрия, която идва от системи от аксиоми, различни от тези на Евклид. Това унищожава вярата в абсолютната или априорната истина на аксиомите и теориите, които произтичат от тях.

Следователно аксиомите започват да се схващат като отправни точки на дадена теория. Също така и техният избор и проблемът за тяхната валидност по един или друг начин започват да се отнасят до факти извън аксиоматичната теория..

По този начин се появяват геометрични, алгебрични и аритметични теории, конструирани с помощта на аксиоматичен метод.

Този етап завършва със създаването на аксиоматични системи за аритметика като тази на Джузепе Пеано през 1891 г .; геометрията на Дейвид Хюбърт през 1899 г .; изявленията и предикативните изчисления на Алфред Норт Уайтхед и Бертран Ръсел в Англия през 1910 г .; аксиоматичната теория на множествата на Ърнст Фридрих Фердинанд Зермело през 1908 година.

Модерен или формален аксиоматичен метод

Дейвид Хюбърт инициира концепцията за формален аксиоматичен метод и води до кулминацията му, Дейвид Хилберт.

Именно Хилберт формализира научния език, разглеждайки твърденията си като формули или поредици от знаци, които сами по себе си нямат никакво значение. Те придобиват смисъл само в определено тълкуване.

ВОсновите на геометрията„Обяснява първия пример на тази методология. Оттук геометрията се превръща в наука с чисти логически последствия, които се извличат от система от хипотези или аксиоми, по-добре артикулирани от евклидовата система.

Това е така, защото в старата система аксиоматичната теория се основава на доказателствата за аксиомите. Докато основата на формалната теория е дадена от демонстрацията на непротиворечивостта на неговите аксиоми.

стъпки

Процедурата, която извършва аксиоматично структуриране в рамките на научните теории, признава:

а - изборът на определен брой аксиоми, т.е. редица предложения на определена теория, които са приети без да е необходимо да бъдат демонстрирани.

b-понятията, които са част от тези твърдения, не са определени в рамките на дадената теория.

c-правилата за дефиниране и дедукция на дадената теория са фиксирани и позволяват да се въведат нови понятия в теорията и логично да се изведат някои предложения от други.

d-другите твърдения на теорията, т.е. теоремата, се извеждат от a на базата на c.

Примери

Този метод може да бъде проверен чрез демонстрация на двете най-известни теореми на Евклид: теоремата за крака и теоремата за височината..

И двете произтичат от наблюдението на този гръцки геометър, че когато височината е нанесена по отношение на хипотенузата в правоъгълния триъгълник, два триъгълника се появяват повече от оригинала. Тези триъгълници са подобни един на друг и в същото време са подобни на произхода на триъгълника. Това предполага, че съответните им хомоложни страни са пропорционални.

Може да се види, че съответстващите ъгли в триъгълниците по този начин проверяват сходството, което съществува между трите триъгълника, участващи в съответствие с критерия за подобие на ААА. Този критерий счита, че когато два триъгълника имат всичките си равни ъгли, те са сходни.

След като триъгълниците са показани като подобни, могат да бъдат установени пропорциите, посочени в първата теорема. Той заявява, че в правоъгълен триъгълник измерването на всеки катетус е геометрично пропорционално средно между хипотенузата и проекцията на катетуса в нея..

Втората теорема е тази на височината. Той уточнява, че всеки правоъгълен триъгълник височината, която се извлича според хипотенузата, е геометрично пропорционално средно между сегментите, които се определят от споменатата геометрична средна стойност на хипотенузата.

Разбира се, и двете теореми имат многобройни приложения в света не само в областта на образованието, но и в инженерството, физиката, химията и астрономията..

препратки

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Геометрия, формализъм и интуиция: Дейвид Хилберт и формалният аксиоматичен метод (1895-1905). Philosophy Magazine, том 39, № 2, стр.121-146. Взето от revistas.ucm.es.
  2. Хилберт, Дейвид. (1918) Аксиоматична мисъл. В W.Ewald, редактор, от Кант до Хилберт: източник книга в основата на математиката. Том II, стр. 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009 г.). Какъв е аксиоматичният метод? Synthese, ноември 2011 г., том 189, стр.69-85. Взето от link.springer.com.
  4. Лопес Ернандес, Хосе. (2005 г.). Въведение в философията на съвременното право. (Pp.48-49). Взети от books.google.com.ar.
  5. Ниренберг, Рикардо. (1996) Аксиоматичният метод, чрез четене от Рикардо Ниренберг, Есен 1996, Университета в Олбъни, Project Renaissance. Взето от Albany.edu.
  6. Вентури, Джорджо. (2015) Хилберт между формалната и неформалната страна на математиката. Ръкопис, том. 38 не. 2, Кампинас юли / август 2015. Взети от scielo.br.