Метод на синтетично разделение и решени упражнения

на синтетично разделение Това е един лесен начин на разделяне на полином Р (х) всяка една от форма г (х) = х - гр. Това е един много полезен инструмент, защото, освен че ни позволява да се разделят полиноми, също така позволява оценяване на Р (х) полином в произволен брой в, което от своя страна ни казва точно, ако броят е нула или не полинома.

Благодарение на алгоритъма на деление, ние знаем, че ако имаме два полинома P (x) и d (x) не са постоянни, има полиноми q (x) и r (x) уникален така, че да приема, че Р (х) = р (х) г (х) + R (х), където R (х) е нула или е на степен р (х). Тези полиноми са известни като коефициент и остатък или почивка съответно.

В случаите, в които полином г (х) е с форма в x- на синтетични разделяне дава кратко начин да се намери, които са р (х) и R (х).

индекс

• 1 Метод на синтетично разделяне
• 2 Упражнения са решени
  • 2.1 Пример 1
  • 2.2 Пример 2
  • 2.3 Пример 3
  • 2.4 Пример 4
• 3 Препратки

Метод на синтетично разделяне

Нека P (x) = a_пх^п+за_N-1х^N-1+... + a₁x + a₀ полиномът, който искаме да разделим и d (x) = x-c делителя. За да се разделим по метода на синтетичното разделяне, следваме следното:

1 - Пишем коефициентите на P (x) в първия ред. Ако някаква сила на X не се появи, ние поставяме нула като негов коефициент.

2- Във втория ред отляво на a_п мястото c и рисуването на линиите за разделяне, както е показано на следната фигура:

3- Понижаваме водещия коефициент до третия ред.

В този израз b_N-1= a_п

4- Умножаваме c с водещия коефициент b_N-1 и резултатът се записва във втория ред, а колоната вдясно.

5 - Добавяме колоната, където написахме предишния резултат и резултатът го поставяме под тази сума; тоест в същата колона, трети ред.

Като добавим, имаме като резултат_N-1+c * b_N-1, които за удобство ще наречем b_н-2

6- Умножаваме c с предишния резултат и записваме резултата в дясно във втория ред.

7- Повторяваме стъпки 5 и 6, докато достигнем коефициента a₀.

8- Напишете отговора; т.е. частното и остатъка. Тъй като ние извършваме разделянето на полином от степен n между полином от степен 1, имаме, че сериозният коефициент на степен n-1.

Коефициентите на коефициентния полином ще бъдат номерата на третия ред, с изключение на последния, който ще бъде остатъчният полином или остатък от делението..

Решени упражнения

Пример 1

Извършете следното разделение чрез метод за синтетично разделяне:

(х⁵+3x⁴-7x³+2x²-8x + 1): (x + 1).

разтвор

Първо ще напишем коефициентите на дивидента, както следва:

Тогава ще напишем c от лявата страна, във втория ред, заедно с линиите на деление. В този пример с = -1.

Понижаваме водещия коефициент (в този случай b_N-1 = 1) и го умножете по -1:

Въвеждаме резултата отдясно във втория ред, както е показано по-долу:

Добавяме номерата във втората колона:

Умножаваме 2 с -1 и записваме резултата в третата колона, вторият ред:

Добавяме в третата колона:

Постъпваме аналогично, докато стигнем до последната колона:

Следователно, имаме, че последното получено число е останалата част от делението, а останалите числа са коефициентите на коефициентния полином. Това се пише по следния начин:

Ако искаме да проверим дали резултатът е правилен, достатъчно е да проверим дали е изпълнено следното уравнение:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Така че можем да проверим дали полученият резултат е правилен.

Пример 2

Изпълнете следващото разделение на полиноми чрез синтетичен метод за разделяне

(7x³-x + 2): (x + 2)

разтвор

В този случай имаме термина x² не се появява, така че ще напишем 0 като негов коефициент. Така че, полиномът ще бъде като 7x³+0x²-x + 2.

Пишем техните коефициенти подред, това е:

Записваме стойността на C = -2 от лявата страна във втория ред и рисуваме линиите на деление.

Понижаваме водещия коефициент b_N-1 = 7 и го умножаваме с -2, записвайки резултата си във втория ред отдясно.

Добавяме и продължаваме, както беше обяснено по-горе, докато не достигнем последния срок:

В този случай останалото е r (x) = - 52, а коефициентът е q (x) = 7x²-14x + 27.

Пример 3

Друг начин да се използва синтетичното разделение е следното: да предположим, че имаме полином P (x) на степен n и искаме да знаем каква е стойността при оценяването му в x = c.

По алгоритъма на делението имаме, че можем да запишем полинома P (x) по следния начин:

В този израз q (x) и r (x) са съответно частното и останалото. Сега, ако d (x) = x- c, при оценката в c в полинома намираме следното:

За това трябва само да намерим r (x) и това можем да направим благодарение на синтетичното разделение.

Например, имаме полином P (x) = x⁷-9x⁶+19x⁵+12X⁴-3x³+19x²-37Х-37 и ние искаме да знаем стойността си, когато оценява на х = 5. Ние извършваме разделението между Р (х) и г (х) = х -5 по метода на синтетичен разделение:

След като операциите са извършени, знаем, че можем да напишем P (x) по следния начин:

P (x) = (x⁶-4x⁵ -х⁴+ 7x³ +32x² +179x + 858) * (х-5) + 4253

Следователно, когато го оценяваме, трябва да:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

Р (5) = 0 + 4253 = 4253

Както можем да видим, възможно е да се използва синтетично разделение, за да се намери стойността на полином при оценяването му в c вместо простото заместване на c с x \ t. 

Ако се опитаме да оценим P (5) по традиционния начин, ще трябва да извършим някои изчисления, които са склонни да станат досадни.

Пример 4

Алгоритъмът за разделение на полиноми важи и за полиноми с комплексни коефициенти и, следователно, да има метод за синтетичен дивизия също работи за тези полиноми. Тук ние виждаме един пример.

Ще използваме метода на синтетичното разделяне, за да покажем, че z = 1+ 2i е нула на полинома P (x) = x³+ (1 + i) x² -(1 + 2i) x + (15 + 5i); остатъкът от делението P (x) между d (x) = x - z е равен на нула.

Продължаваме както преди: в първия ред пишем коефициентите на P (x), след това във втория записваме z и нарисуваме линиите на деление..

Направихме разделянето както преди; това е:

Можем да видим, че остатъкът е нула; следователно заключаваме, че z = 1+ 2i е нула от P (x).

препратки

1. Балдор Аурелио. алгебра. Patria Редакционна група.
2. Демана, Уейтс, Фоли и Кенеди. Предкалус: Графичен, цифров, алгебричен 7-ми Ed Pearson Education.
3. Флеминг У. и Варзерг Д. Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Prentice Hall
4. Майкъл Съливан. precalculus 4-то изд. Образование в Пиърсън.
5. Red. Армандо О. Алгебра 1 6-то изд. Атенеумът.