Евклидова история на геометрията, основни понятия и примери

на Евклидова геометрия съответства на изучаването на свойствата на геометричните пространства, където са изпълнени аксиомите на Евклид. Докато понятието понякога се използва, за да обхване геометриите, които имат по-добри размери с подобни свойства, то обикновено е синоним на класическа геометрия или плоска геометрия..

През трети век a. К. Евклид и неговите ученици написаха елементи, произведение, което обхваща математическите познания за времето, снабдени с логически-дедуктивна структура. Оттогава геометрията се е превърнала в наука, първоначално за решаване на класически проблеми и еволюирала в формираща наука, която помага да се разсъждава.

индекс

• 1 История
• 2 Основни понятия
  • 2.1 Общи понятия
  • 2.2 Постулати или аксиоми
• 3 Примери
  • 3.1 Първи пример
  • 3.2 Втори пример
  • 3.3 Трети пример
• 4 Препратки

история

За да говорим за историята на евклидовата геометрия, е важно да започнем с Евклид Александрийски и елементи.

Когато Египет беше в ръцете на Птолемей I, след смъртта на Александър Велики, той започна проекта си в едно училище в Александрия.

Сред мъдреците, които преподаваха в училище, беше Евклид. Предполага се, че неговото раждане датира приблизително от 325 а. C. и смъртта му от 265 a. В. Можем със сигурност да знаем, че той е отишъл в училището на Платон.

В продължение на повече от тридесет години Евклид преподава в Александрия, изграждайки своите известни елементи: той започва да пише изчерпателно описание на математиката на своето време. Ученията на Евклид произвеждат отлични ученици, като Архимед и Аполон от Перга.

Евклид е бил отговорен за структурирането на разнородните открития на класическите гърци в елементи, но за разлика от предшествениците си, тя не се ограничава само до утвърждаване, че една теорема е вярна; Евклид предлага демонстрация.

на елементи Те са сборник от тринадесет книги. След Библията това е най-публикуваната книга с повече от хиляда издания.

на елементи е шедьовър на Евклид в областта на геометрията и предлага окончателно третиране на геометрията на две измерения (равнина) и три измерения (пространство), като това е произходът на това, което сега познаваме като евклидова геометрия.

Основни понятия

Елементите са съставени от определения, общи понятия и постулати (или аксиоми), следвани от теореми, конструкции и демонстрации.

- Една точка е тази, която няма части.

- Линията е с дължина, която няма ширина.

- Правата линия е тази, която лежи еднакво във връзка с точките, които са в това.

- Ако се режат две линии, така че съседните ъгли да са равни, ъглите се наричат ​​прави и линиите се наричат ​​перпендикуляри..

- Паралелните линии са онези, които в една и съща равнина никога не се режат.

След тези и други дефиниции, Евклид представя списък от пет постулата и пет понятия.

Общи понятия

- Две неща, които са равни на една трета, са еднакви.

- Ако еднаквите неща се добавят към едни и същи неща, резултатите са същите.

- Ако равни неща се извадят от едни и същи неща, резултатите са същите.

- Нещата, които съвпадат помежду си, са еднакви.

- Общата сума е по-голяма от част.

Постулати или аксиоми

- За две различни точки преминава един и само един ред.

- Правите линии могат да продължат безкрайно.

- Можете да нарисувате кръг с всеки център и радиус.

- Всички прави ъгли са еднакви.

- Ако една права линия пресече две прави линии, така че вътрешните ъгли на същата страна да добавят по-малко от два прави ъгъла, тогава двете линии ще се пресичат от тази страна.

Последният постулат е известен като постулат на паралелите и е преформулиран по следния начин: "За точка извън линия можете да начертаете един паралел на дадената линия".

Примери

След това, някои теореми на елементи те ще служат, за да покажат свойствата на геометричните пространства, където са изпълнени петте постулата на Евклид; В допълнение, те ще илюстрират логически-дедуктивното разсъждение, използвано от този математик.

Първи пример

Предложение 1.4. (LAL)

Ако два триъгълника имат две страни и ъгълът между тях е равен, тогава другите страни и другите ъгли са равни.

шоу

Нека ABC и A'B'C 'са два триъгълника с AB = A'B', AC = A'C 'и ъглите BAC и B'A'C' са равни. Преместване в триъгълник A'B'C ', така че A'B' съвпада с AB и този ъгъл B'A'C 'съвпада с ъгъл BAC.

Тогава линията А'С 'съвпада с линия АС, така че С' съвпада с C. Тогава, чрез постулат 1, линия ВС трябва да съвпада с линия В'С '. Следователно двата триъгълника съвпадат и следователно техните ъгли и страни са равни.

Втори пример

Предложение 1.5. (Pons Asinorum)

Ако един триъгълник има две равни страни, тогава ъглите срещу тези страни са равни.

шоу

Да предположим, че триъгълникът ABC има равни страни AB и AC.

След това триъгълниците ABD и ACD имат две равни страни, а ъглите между тях са равни. По този начин, по предложение 1.4, ъглите ABD и ACD са равни.

Трети пример

Предложение 1.31

Можете да изградите линия, успоредна на линия, зададена от дадена точка.

строителство

Като се има предвид линия L и точка P, се прави права линия М, която минава през Р и се пресича на Л. Тогава права линия N се изтегля от Р, която се прекъсва до Л. Сега, ние проследяваме с Р права N, която се пресича до М, образувайки ъгъл, равен на този, който L образува с M.

утвърждаване

N е паралелен на L.

шоу

Да предположим, че L и N не са успоредни и се пресичат в точка А. Нека B е точка в L отвъд A. Разгледайте линията O, минаваща през B и P. След това, O, отрязани до M, образуващи ъгли, които добавят по-малко от две прави.

Тогава с 1,5 линията О трябва да се отреже до линията L от другата страна на М, така че L и O се пресичат в две точки, което противоречи на постулата 1. Следователно L и N трябва да са паралелни..

препратки

1. Евклид. Елементи на геометрията. Национален автономен университет на Мексико
2. Евклид. Първите шест книги и единадесетият и дванадесетият елемент на Евклид
3. Eugenio Filloy Yague. Дидактика и история на Евклидова геометрия
4. K.Ribnikov. История на математиката Mir Editorial
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Flat Analytical Geometry. Венецуела C.A Редакция.