Метод на линейна интерполация, решени упражнения



на линейна интерполация е метод, който произлиза от общата интерполация на Нютон и позволява да се определи чрез приближение неизвестна стойност, която е между две дадени числа; има междинна стойност. Прилага се и за приближаващи функции, където стойностите f(А) и f(В) те са известни и искате да знаете междинното от f(X).

Има различни видове интерполация, като линейни, квадратични, кубични и по-високи степени, като най-простият е линейното приближение. Цената, която трябва да се плати с линейна интерполация е, че резултатът няма да бъде толкова точен, колкото при приближенията на функциите на по-високите степени.

индекс

  • 1 Определение
  • 2 Метод
  • 3 Упражнения са решени
    • 3.1 Упражнение 1
    • 3.2 Упражнение 2
  • 4 Препратки

дефиниция

Линейната интерполация е процес, който ви позволява да изведете стойност между две добре дефинирани стойности, които могат да бъдат в таблица или в линейна графика..

Например, ако знаете, че 3 литра мляко са на стойност $ 4 и че 5 литра са на стойност $ 7, но искате да знаете каква е стойността на 4 литра мляко, интерполирани, за да се определи междинната стойност.

метод

За да се оцени една междинна стойност на дадена функция, функцията f се апроксимира(X) с права линия r(X), което означава, че функцията варира линейно с "x" за участък "x = a" и "x = b"; т.е. за стойност "x" в интервала (x0, х1) и (и0, и1), стойността на "у" се дава от линията между точките и се изразява със следното отношение:

(и - и0) ÷ (x - x0) = (и1 - и0) ÷ (x1 - х0)

За да бъде линейна интерполация, е необходимо интерполационният полином да е от степен 1 ​​(n = 1), така че да се приспособи към стойностите на x0 и x1.

Линейната интерполация се основава на сходството на триъгълниците, така че, извличайки геометрично от предишния израз, можем да получим стойността на "y", която представлява неизвестната стойност за "x"..

По този начин трябва да:

a = tan Ɵ = (противоположна страна1 ÷ съседен крак1) = (противоположна страна2 ÷ съседен крак2)

Изразен по друг начин, той е:

(и - и0) ÷ (x - x0) = (и1 - и0) ÷ (x1 - х0)

Изчистване на „и“ от изразите, имате:

(и - и0) * (х1 - х0) = (x - x0) * (и1 - и0)

(и - и0) = (и1 - и0) * [(x - x0) ÷ (x1 - х0)]

По този начин получаваме общото уравнение за линейна интерполация:

y = y0 + (и1 - и0) * [(x - x0) ÷ (x1 - х0)]

Като цяло, линейната интерполация дава малка грешка над реалната стойност на истинската функция, въпреки че грешката е минимална в сравнение с това, ако интуитивно изберете номер, близък до този, който искате да намерите..

Тази грешка възниква, когато се опитате да приближите стойността на крива с права линия; за тези случаи размерът на интервала трябва да бъде намален, за да стане сближаването по-прецизно.

За по-добри резултати по отношение на подхода е препоръчително да се използват функции от степен 2, 3 или дори по-висок клас за извършване на интерполация. За тези случаи теоремата на Тейлър е много полезен инструмент.

Решени упражнения

Упражнение 1

Броят на бактериите на единица обем, съществуващ в инкубация след х часа, е представен в следващата таблица. Искате да знаете какъв е обемът на бактериите за времето от 3,5 часа.

разтвор

Референтната таблица не установява стойност, която показва количеството бактерии за време от 3.5 часа, но имат по-високи и по-ниски стойности, съответстващи на време от 3 и 4 часа, съответно. По този начин:

х0 = 3 и0 = 91

x = 3.5 y =?

х1 = 4 и1 = 135

Сега математическото уравнение се прилага, за да се намери интерполираната стойност, която е следната:

y = y0 + (и1 - и0) * [(x - x0) ÷ (x1 - х0)].

След това съответните стойности се заменят:

y = 91 + (135 - 91) * [(3,5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44)* [(0,5) ÷ (1)]

у = 91 + 44 * 0.5

y = 113.

По този начин се получава, че за време от 3.5 часа, количеството на бактериите е 113, което представлява междинно ниво между обема на бактериите, съществуващи по време на 3 и 4 часа..

Упражнение 2

Луис има фабрика за сладолед и иска да направи проучване, за да определи доходите, които е имал през август от направените разходи. Мениджърът на компанията прави графика, която изразява тази връзка, но Луис иска да знае:

Какви са приходите за август, ако е направен разход от $ 55,000??

разтвор

Дадена е графика със стойности на приходите и разходите. Луис иска да разбере какъв е доходът от август, ако фабриката има разход от 55 000 долара. Тази стойност не се отразява директно в графиката, но стойностите са по-високи и по-ниски от това.

Първо се прави таблица, в която лесно да се свържат стойностите:

Сега, формулата за интерполация се използва за определяне на стойността на y

y = y0 + (и1 - и0) * [(x - x0) ÷ (x1 - х0)]

След това съответните стойности се заменят:

y = 56,000 + (78,000 - 56,000) * [(55 000 - 45 000) ÷ (62 000 - 45 000)]

y = 56,000 + (22,000) * [(10 000) ÷ (17 000)

y = 56,000 + (22,000) * (0.588)

у = 56,000 + 12,936

у = $ 68,936.

Ако през август бе направен разход от $ 55,000, доходът беше $ 68,936.

препратки

  1. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.
  2. Harpe, P. d. (2000 г.). Теми в геометричната теория на групите. Университета в Чикаго Прес.
  3. Hazewinkel, М. (2001). Линейна интерполация ", Енциклопедия на математиката.
  4. , J. М. (1998). Елементи на числените методи за инженеринг. UASLP.
  5. , E. (2002). Хронология на интерполация: от древна астрономия до модерна обработка на сигнали и изображения. Известия на IEEE.
  6. числен, I. a. (2006 г.). Ксавие Томас, Жорди Куадрос, Луцини Гонсалес.