Минимален квадратен метод, решени упражнения и какво служи



Методът на най-малки квадрати е едно от най-важните приложения в сближаването на функциите. Идеята е да се намери такава крива, че при даден набор от подредени двойки, тази функция по-добре приближава данните. Функцията може да бъде линия, квадратична крива, кубична крива и т.н..

Идеята на метода е да се сведе до минимум сумата от квадратите на разликите в ординатите (компонент Y), между точките, генерирани от избраната функция, и точките, принадлежащи към набора от данни.

индекс

  • 1 метод с най-малки квадрати
  • 2 Упражнения са решени
    • 2.1 Упражнение 1
    • 2.2 Упражнение 2
  • 3 За какво е предназначен??
  • 4 Препратки

Метод с най-малки квадрати

Преди да дадем метода, трябва първо да изясним какво означава "по-добър подход". Нека предположим, че търсим линия y = b + mx, която най-добре представлява група от n точки, а именно (x1, y1), (x2, y2) ..., (xn, yn).

Както е показано в предишната фигура, ако променливите x и y са свързани с линията y = b + mx, то за x = x1 съответната стойност на y ще бъде b + mx1. Тази стойност обаче е различна от истинската стойност на y, която е y = y1.

Припомнете си, че в самолета разстоянието между две точки се дава по следната формула:

С оглед на това, за да се определи как да се избере линията y = b + mx, която най-добре приближава дадените данни, има смисъл да се използва изборът на линията, която свежда до минимум сумата на квадратите на разстоянията между точките като критерии и прав.

Тъй като разстоянието между точките (x1, y1) и (x1, b + mx1) е y1- (b + mx1), нашият проблем се свежда до намиране на числа m и b, така че следната сума е минимална:

Линията, която отговаря на това условие, е известна като "приближение на линията на най-малките квадрати към точките (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)".

След като проблемът бъде решен, просто трябва да изберем метод, за да намерим апроксимацията на най-малките квадрати. Ако точките (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) са в линията y = mx + b, трябва да бъдем колинеарни и:

В този израз:

И накрая, ако точките не са колинеарни, тогава y-Au = 0 и проблемът може да се превърне в намиране на вектор или такава, че евклидовата норма е минимална.

Намирането на минимизиращия вектор не е толкова трудно, колкото си мислите. Тъй като A е матрица nx2 и u е 2 × 1 матрица, имаме, че векторът Au е вектор в Rп и принадлежи към образа на А, който е подпространство на Rп с размер не по-голям от два.

Ще приемем, че n = 3, за да покажем коя е процедурата, която трябва да се следва. Ако n = 3, изображението на A ще бъде равнина или линия, която минава през произхода.

Нека v е минимализиращият вектор. На фигурата наблюдаваме, че y-Au е сведена до минимум, когато е ортогонална на образа на A. Това означава, че ако v е минимизиращият вектор, тогава се случва, че:

След това можем да изразим горното по следния начин:

Това може да се случи само ако:

Накрая, изчиствайки v, трябва:

Възможно е да направите това след AтА е обратимо, докато n точките, дадени като данни, не са колинеарни.

Сега, ако вместо да търсим ред, искаме да намерим парабола (чийто израз ще бъде от y = a + bx + cx)2) което е по-добро сближаване с n точки данни, процедурата ще бъде описана по-долу.

Ако n-те данни бяха в споменатата парабола, то трябваше да:

след това:

По подобен начин можем да напишем y = Au. Ако всички точки не са в параболата, имаме, че y-Au е различен от нула за всеки вектор u и нашият проблем е отново: намери вектор u в R3, така че неговата норма || y-Au || бъдете възможно най-малки.

Като повтаряме предишната процедура, можем да стигнем до търсения вектор:

Решени упражнения

Упражнение 1

Намерете линията, която най-добре отговаря на точките (1,4), (-2,5), (3, -1) и (4,1).

разтвор

Трябва:

след това:

Затова заключаваме, че линията, която най-добре отговаря на точките, се дава от:

Упражнение 2

Да предположим, че един обект е паднал от височина 200 m. При падане се предприемат следните мерки:

Знаем, че височината на споменатия обект, след като е изминала време t, се дава от:

Ако искаме да получим стойността на g, можем да намерим парабола, която е по-добра апроксимация на петте точки, дадени в таблицата, и следователно ще имаме коефициент, който съпътства2 това ще бъде разумно приближение до (-1/2) g, ако измерванията са точни.

Трябва:

И тогава:

Така данните се коригират със следния квадратичен израз:

След това трябва да:

Това е стойност, която е сравнително близка до правилната, която е g = 9,81 m / s2. За да се получи по-точно сближаване на g, е необходимо да се започне от по-точни наблюдения.

За какво е??

В проблемите, които възникват в естествените или социалните науки, е удобно да се напишат връзките, които възникват между различните променливи чрез някакъв математически израз.

Например, можем да свържем разходите (C), дохода (I) и печалбата (U) в икономиката посредством проста формула:

Във физиката можем да свържем ускорението, причинено от гравитацията, времето, в което обектът пада и височината на обекта по закон:

В предишния израз sили е началната височина на този обект и vили е вашата първоначална скорост.

Въпреки това, намирането на формули като тези не е проста задача; Обикновено задължение на професионалистите е да работят с много данни и многократно да извършват няколко експеримента (за да проверят дали получените резултати са постоянни), за да намерят връзки между различните данни..

Често срещан начин да се постигне това е да се представят данните, получени в равнината като точки и да се търси непрекъсната функция, която се приближава към тези точки оптимално.

Един от начините да се намери функцията, която "най-добре сближава" с дадените данни е по метода на най-малките квадрати.

Освен това, както видяхме и в упражнението, благодарение на този метод можем да получим приближения, близки до физическите константи.

препратки

  1. Линейна алгебра на Чарлз У. Къртис. Springer-Velarg
  2. Kai Lai Chung Елементарна теория на устойчивостта със стохастични процеси. Springer-Verlag New York Inc.
  3. Richar L Burden & J. Douglas Faires. Числен анализ (7ed). Thompson Learning.
  4. Стенли И. Гросман. Приложения на линейна алгебра. MCGRAW-HILL / ИНТЕРАМЕРИКАНА ДЕ МЕКСИКО
  5. Стенли И. Гросман. Линейна алгебра MCGRAW-HILL / ИНТЕРАМЕРИКАНА ДЕ МЕКСИКО