Теорема на Болцано, обяснение, приложения и упражнения

на Теорема на Болцано установява, че ако дадена функция е непрекъсната във всички точки на затворен интервал [a, b] и е убедена, че изображението на "а" и "b" (под функцията) има противоположни знаци, тогава ще има поне една точка "C" в отворения интервал (a, b), така че функцията, оценена в "c", ще бъде равна на 0.

Тази теорема е изявена от философа, теолога и математика Бернар Болцано през 1850 г. Този учен, роден в днешна Чехия, е един от първите математици в историята, които правят официална демонстрация на свойствата на непрекъснатите функции.

индекс

• 1 Обяснение
• 2 Демонстрация
• 3 За какво е предназначен??
• 4 Упражнения са решени
  • 4.1 Упражнение 1
  • 4.2 Упражнение 2
• 5 Препратки

обяснение

Теоремата на Болцано е известна също като теоремата за междинните стойности, която помага при определянето на специфични стойности, особено нули, на определени реални функции на реална променлива..

В дадена функция f (x) продължава, т.е. f (a) и f (b) са свързани чрез крива, където f (a) е под оста х (е отрицателна), а f (b) е над ос x (положително), или обратното, графично ще има точка на изрязване на оста х, която ще представлява междинна стойност "c", която ще бъде между "а" и "b", и стойността на f (c) ще бъде равен на 0.

Чрез графично анализиране на теоремата на Болцано можем да знаем, че за всяка функция f непрекъснато, дефинирана в интервал [a, b], където f (a)_*f (b) е по-малко от 0, ще има поне един корен "c" на тази функция в интервала (a, b).

Тази теорема не установява броя на точките, съществуващи в този отворен интервал, само че има поне 1 точка.

шоу

За да се докаже теоремата на Болцано, се приема без загуба на общности, че f (a) < 0 y f(b) > 0; по този начин може да има много стойности между "а" и "б", за които f (x) = 0, но само трябва да покажете, че има един.

Започнете с оценка на f в средата (a + b) / 2. Ако f ((a + b) / 2) = 0, тестът приключва тук; в противен случай, тогава f ((a + b) / 2) е положително или отрицателно.

Избира се една от половините на интервала [a, b], така че знаците на оценяваната функция в краищата да са различни. Този нов интервал ще бъде [a1, b1].

Сега, ако f, оценено в средата на [a1, b1] не е нула, тогава се извършва същата операция, както преди; това е, че е избрана половината от този интервал, който отговаря на състоянието на знаците. Бъдете този нов интервал [a2, b2].

Ако този процес продължи, тогава ще бъдат предприети две последователности an и bn, така че:

an се увеличава и bn намалява:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Ако изчислите дължината на всеки интервал [ai, bi], ще трябва да:

b1-a1 = (b-a) / 2.

b2-a2 = (b-a) / 2².

... .

bn-an = (b-a) / 2 ^ n.

Следователно границата, когато n се стреми към безкрайност от (bn-an), е равна на 0. \ t.

Използвайки тази an нарастваща и ограничена и bn намалява и ограничава, трябва да има стойност "c" така, че:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a ≤ ... ≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Границата на an е "c" и границата на bn също е "c". Следователно, при всяко δ> 0, винаги има "n" такова, че интервалът [an, bn] се съдържа в интервала (c-δ, c + δ).

Сега трябва да се покаже, че f (c) = 0.

Ако f (c)> 0, тъй като f е непрекъснат, съществува ε> 0, че f е положително през целия интервал (c-ε, c + ε). Въпреки това, както е посочено по-горе, съществува стойност "n" такава, че f променя знака в [an, bn] и освен това, [an, bn] се съдържа в (c-ε, c + ε), какво е противоречие.

Ако f (c) < 0, entonces como f es continua, existe un ε >0 така, че f е отрицателен по време на интервала (c-ε, c + ε); но съществува стойност "n" така, че f променя знак [an, bn]. Оказва се, че [an, bn] се съдържа в (c-ε, c + ε), което също е противоречие.

Ето защо, f (c) = 0 и това е, което искахме да покажем.

За какво е??

От графичната си интерпретация теоремата на Болцано се използва за намиране на корени или нули в непрекъсната функция, чрез бисекция (апроксимация), която е инкрементален метод на търсене, който винаги разделя интервалите на 2.

След това вземете интервал [a, c] или [c, b], където се появява промяната на знака, и повторете процеса, докато интервалът е по-малък и по-малък, така че да можете да достигнете желаната стойност; това е стойността, която функцията прави 0.

В обобщение, за да се приложи теоремата на Болцано и по този начин да се намерят корените, да се разграничат нулите на дадена функция или да се даде решение на уравнението, се изпълняват следните стъпки:

- Проверява се дали f е непрекъсната функция в интервала [a, b].

- Ако интервалът не е даден, трябва да се намери мястото, където функцията е непрекъсната.

- Проверява се дали крайностите на интервала дават противоположни знаци, когато се оценяват в f.

- Ако не се получат противоположни знаци, интервалът трябва да се раздели на две подинтервали, използвайки средната точка.

- Оценете функцията в средата и проверете дали хипотезата на Bolzano е изпълнена, където f (a) _* f (b) < 0.

- В зависимост от знака (положителен или отрицателен) на намерената стойност, процесът се повтаря с нов подинтервал, докато споменатата хипотеза се изпълни.

Решени упражнения

Упражнение 1

Определете дали функцията f (x) = x² - 2, има поне едно реално решение в интервала [1,2].

разтвор

Имаме функцията f (x) = x² - 2. Тъй като е полином, това означава, че е непрекъснат във всеки интервал.

От вас се иска да определите дали имате реално решение в интервала [1, 2], така че сега трябва само да замените краищата на интервала във функцията, за да знаете знака от тях и да знаете дали те отговарят на условието да бъдат различни:

f (x) = x² - 2

f (1) = 1² - 2 = -1 (отрицателно)

f (2) = 2² - 2 = 2 (положително)

Следователно, знак на f (1) f знак f (2).

Това гарантира, че има поне една точка "c", която принадлежи на интервала [1,2], където f (c) = 0.

В този случай стойността на "c" може лесно да се изчисли, както следва:

х² - 2 = 0

x = ± .2.

Така 2 ≈ 1,4 принадлежи към интервала [1,2] и удовлетворява, че f ()2) = 0.

Упражнение 2

Докаже, че уравнението x⁵ + x + 1 = 0 има поне едно реално решение.

разтвор

Първо отбележете, че f (x) = x⁵ + x + 1 е полиномна функция, което означава, че е непрекъснато във всички реални числа.

В този случай не се дава интервал, така че стойностите трябва да се избират интуитивно, за предпочитане близо до 0, за да се оцени функцията и да се намерят промените на знака:

Ако използвате интервала [0, 1], трябва да:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 1⁵ + 1 + 1 = 3> 0.

Тъй като няма промяна в знака, процесът се повтаря с друг интервал.

Ако използвате интервала [-1, 0], трябва да:

f (x) = x⁵ + x + 1.

f (-1) = (-1)⁵ + (-1) + 1 = -1 < 0.

f (0) = 0⁵ + 0 + 1 = 1> 0.

В този интервал има промяна на знака: знак на f (-1) ≠ знак на f (0), което означава, че функцията f (x) = x⁵ + x + 1 има поне един реален корен "c" в интервала [-1, 0], такъв, че f (c) = 0. С други думи, вярно е, че x⁵ + x + 1 = 0 има реално решение в интервала [-1,0].

препратки

1. Bronshtein I, S. K. (1988). Ръководство по математика за инженери и студенти ... Редакционен МИР.
2. George, A. (1994). Математика и ум. Oxford University Press.
3. Ilín V, P.E. (1991). Математически анализ В три тома ...
4. Jesús Gómez, F. G. (2003). Учители на средното образование. Том II. MAD.
5. Mateos, M. L. (2013). Основни свойства на анализа в R. Editores, Dec.
6. Piskunov, N. (1980). Диференциално и интегрално смятане ...
7. Sydsaeter K, H. P. (2005). Математика за икономически анализ. Феликс Варела.
8. William H. Barker, R.H. (s.f.). Непрекъсната симетрия: от Евклид до Клайн. American Mathematical Soc.