Теорема на Чебишов от какво се състои, приложения и примери



на Теоремата на Чебишов (или неравенството на Чебишов) е един от най-важните класически резултати на теорията на вероятността. Тя позволява да се оцени вероятността на събитие, описано в случай на случайна величина X, като ни даде измерение, което не зависи от разпределението на случайната променлива, а от дисперсията на X.

Теоремата е кръстена на руския математик Пафнути Чебишов (също написан като Чебичев или Чебичев), който, въпреки че не е първият, който изяви тази теорема, е първият, който даде демонстрация през 1867 г..

Това неравенство или тези, които по своите характеристики се наричат ​​неравенство на Чебишов, се използва главно за сближаване на вероятностите чрез изчисляване на размерите.

индекс

  • 1 От какво се състои??
  • 2 Приложения и примери
    • 2.1 Вероятности за ограничаване
    • 2.2 Демонстрация на граничните теореми
    • 2.3 Размер на пробата
  • 3 Неравенства тип Чебишов
  • 4 Препратки

От какво се състои??

При изследването на теорията на вероятностите се случва, че ако знаем функцията на разпределение на случайна величина X, можем да изчислим очакваната му стойност - или математическото очакване E (X) - и нейната вариация Var (X), доколкото посочените суми съществуват. Въпреки това, реципрочността не е непременно вярна.

Това означава, че знаейки E (X) и Var (X) не е непременно възможно да получим функцията на разпределение на X, така че количества като P (| X |> k) за някои k> 0 са много трудни за получаване. Но благодарение на неравенството на Чебишов е възможно да се оцени вероятността на случайната променлива.

Теоремата на Чебишов ни подсказва, че ако имаме случайна величина X над пространство за проба S с функция за вероятност p, и ако k> 0, тогава:

Приложения и примери

Сред многото приложения, които теоремата на Чебишов притежава, могат да се споменат следните:

Ограничаване на вероятностите

Това е най-честото приложение и се използва, за да се даде горна граница за P (| X-E (X) | ≥k), където k> 0, само с дисперсията и очакването на случайната величина X, без да се знае функцията на вероятността.

Пример 1

Да предположим, че броят на продуктите, произведени в една компания през седмицата, е случайна величина със средно 50.

Ако знаем, че дисперсията на една седмица от производството е равна на 25, тогава какво можем да кажем за вероятността, че през тази седмица производството ще се различава с повече от 10 от средното.?

разтвор

Прилагайки неравенството на Чебишов, трябва да:

От това можем да получим, че вероятността в седмицата на производство броят на статиите да надвишава повече от 10 до средното е най-много 1/4.

Демонстрация на граничните теореми

Неравенството на Чебишов играе важна роля в демонстрацията на най-важните пределни теореми. Като пример имаме следното:

Слаб закон на големи числа

Този закон установява, че дадена последователност X1, X2, ..., Xn, ... на независими случайни променливи със същото средно разпределение E (Xi) = μ и дисперсия Var (X) = σ2, и известна средна извадка от:

Тогава за k> 0 трябва да:

Или, еквивалентно:

шоу

Първо нека забележим следното:

Тъй като X1, X2, ..., Xn са независими, следва, че:

Следователно е възможно да се потвърди следното:

Тогава, използвайки теоремата на Чебишов, трябва да:

Накрая, теоремата произтича от факта, че границата вдясно е нула, когато n се стреми към безкрайност.

Трябва да се отбележи, че този тест е направен само за случая, при който съществува вариация на Xi; това не означава, че не се различава. По този начин виждаме, че теоремата винаги е вярна, ако съществува Е (Xi).

Ограничителната теорема на Чебишов

Ако X1, X2, ..., Xn, ... е последователност от независими случайни променливи, така че има малко C< infinito, tal que Var(Xn) ≤ C para todo n natural, entonces para cualquier k>0:

шоу

Тъй като последователността на дисперсиите е еднакво ограничена, имаме Var (Sn) ≤ C / n за всички естествени n. Но знаем, че:

Като накарат n да се стреми към безкрайност, следните резултати:

Тъй като вероятността не може да надвишава стойността 1, се получава желания резултат. Като следствие от тази теорема можем да споменем конкретния случай на Бернули.

Ако един експеримент се повтаря n пъти независимо с два възможни резултата (неуспех и успех), където p е вероятността за успех във всеки експеримент и X е случайната величина, представляваща броя на успехите, получени, тогава за всеки k> 0 трябва да:

Размер на пробата

От гледна точка на дисперсията, неравенството на Чебишов ни позволява да намерим размер на извадката n, който е достатъчен, за да гарантираме, че вероятността | Sn-μ | към средната стойност.

Нека X1, X2, ... Xn да са извадка от независими случайни величини с размер n и да предположим, че E (Xi) = μ и неговата дисперсия σ2. Тогава, поради неравенството на Чебишов, трябва да:

пример

Да предположим, че X1, X2, ... Xn са извадка от независими случайни променливи с разпределение на Бернули, така че те приемат стойността 1 с вероятност p = 0.5..

Какъв трябва да бъде размерът на пробата, за да може да се гарантира, че вероятността, че разликата между средната аритметична стойност Sn и очакваната й стойност (надвишаваща 0.1) е по-малка или равна на 0. 01?

разтвор

Имаме, че E (X) = μ = p = 0.5 и Var (X) = σ2= p (1-p) = 0.25. За неравенството на Чебишов, за всяко k> 0 трябва да:

Сега, като приемем k = 0.1 и δ = 0.01, трябва да:

По този начин се прави заключението, че е необходим размер на извадката от най-малко 2500, за да се гарантира, че вероятността на събитието | Sn - 0.5 |> = 0.1 е по-малка от 0.01.

Неравенства тип Чебишов

Има различни неравенства, свързани с неравенството на Чебишов. Едно от най-известните е неравенството на Марков:

В този израз X е неотрицателна случайна променлива с k, r> 0.

Марковското неравенство може да приеме различни форми. Например, нека Y да е неотрицателна случайна променлива (така P (Y> = 0) = 1) и да предположим, че съществува E (Y) = μ. Да предположим също, че (E (Y))R= μR съществува за някои числа r> 1. след това:

Друго неравенство е това на Гаус, което ни подсказва, че дадена унимодална случайна величина X с режим при нула, тогава за k> 0,

препратки

  1. Kai Lai Chung Елементарна теория на устойчивостта със стохастични процеси. Springer-Verlag New York Inc.
  2. Kenneth.H. Дискретна математика и нейните приложения. S.A.MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
  3. Пол Л. Майер. Вероятност и статистически приложения. Inc. МЕКСИКАН АЛЪМБРА.
  4. Д-р Сеймур Липшуц 2000 Проблеми с дискретна математика. McGraw-Hill.
  5. Д-р Сеймур Липшуц Теория и проблеми на вероятността. McGraw-Hill.