Евклидови теореми, демонстрация, приложение и упражнения

на Теоремата на Евклид демонстрира свойствата на правоъгълен триъгълник, като изчертава линия, която я разделя на два нови десни триъгълника, които са подобни една на друга и на свой ред са подобни на оригиналния триъгълник; тогава съществува съотношение на пропорционалност.

Евклид е един от най-великите математици и геометрици на древността, които правят няколко демонстрации на важни теореми. Едно от основните е това, което носи неговото име, което има широко приложение.

Това е така, защото, чрез тази теорема, тя обяснява по прост начин геометричните отношения, съществуващи в десния триъгълник, където краката на това са свързани с техните проекции в хипотенузата.

индекс

• 1 Формули и демонстрация
  • 1.1 Теорема за височината
  • 1.2 Теорема на краката
• 2 Връзка между теоремите на Евклид
• 3 Упражнения са решени
  • 3.1 Пример 1
  • 3.2 Пример 2
• 4 Препратки

Формули и демонстрация

Теоремата на Евклид предлага, че във всеки правоъгълен триъгълник, когато се начертава линия, която представлява височината, съответстваща на върха на десния ъгъл по отношение на хипотенузата, се образуват два правилни триъгълника от оригинала..

Тези триъгълници ще бъдат подобни един на друг и също така ще бъдат подобни на оригиналния триъгълник, което означава, че техните подобни страни са пропорционални един на друг:

Ъглите на трите триъгълника са еднакви; тоест, когато се върти на 180 градуса на своя връх, ъгъл съвпада с другата. Това означава, че всички ще бъдат равни.

По този начин можете също да проверите подобието, което съществува между трите триъгълника, чрез равенството на техните ъгли. От сходството на триъгълниците Евклид установява пропорциите на тези две теореми:

- Теорема за височината.

- Теорема на краката.

Тази теорема има широко приложение. В древността той е бил използван за изчисляване на височини или разстояния, което представлява голям напредък за тригонометрията.

Понастоящем тя се прилага в няколко области, базирани на математика, като инженерство, физика, химия и астрономия, както и много други области.

Теорема за височината

Тази теорема гласи, че във всеки правоъгълен триъгълник, височината, изтеглена от десния ъгъл по отношение на хипотенузата, е геометричната пропорционална средна стойност (квадрата на височината) между проекциите на краката, която определя хипотенузата.

Това означава, че квадратът на височината ще бъде равен на умножението на проектираните крака, които образуват хипотенузата:

з_в² = m _* п

шоу

Като се има предвид триъгълник ABC, който е правоъгълник на върха C, при начертаването на височината се генерират два подобни десни триъгълника, ADC и BCD; следователно съответните им страни са пропорционални:

По такъв начин, че височината h_в което съответства на сегмента CD, съответства на хипотенузата AB = c, така че трябва да:

На свой ред това съответства на:

Изчистване на хипотенузата (h_в), за да умножите двата члена на равенството, трябва да:

з_{c *} з_{c =} m _* п

з_в² = m _* п

По този начин стойността на хипотенузата се дава чрез:

Теорема на краката

Тази теорема гласи, че във всеки правоъгълен триъгълник мярката на всеки крак ще бъде геометричната пропорционална средна стойност (квадрата на всеки крак) между измерването на хипотенузата (пълна) и проекцията на всяка от тях:

б² = c _* m

за² = c_* п

шоу

Като се има предвид триъгълник ABC, който е правоъгълник на върха C, така че неговата хипотенуза е c, при начертаване на височината (h) се определят проекциите на краката a и b, които са сегментите m и n съответно. хипотенузата.

Така, че височината, начертана на десния триъгълник АВС, генерира два подобни правоъгълни триъгълника, ADC и BCD, така че съответните страни са пропорционални, като това:

DB = n, което е проекцията на КН крака върху хипотенузата.

AD = m, което е проекция на катетус АС върху хипотенузата.

Тогава хипотенузата c се определя от сумата на краката на неговите проекции:

c = m + n

Поради сходството на триъгълниците ADC и BCD, ние трябва да:

Горното е същото като:

Като изчисти крака "а", за да умножим двата члена на равенството, човек трябва да:

за _* a = c _* п

за² = c _* п

По този начин стойността на крака "а" се дава чрез:

По подобен начин, по подобие на триъгълниците ACB и ADC, трябва да:

Горното е равно на:

Като изчисти крака "б", за да умножи двата члена на равенството, човек трябва да:

б _* b = c _* m

б² = c _* m

По този начин стойността на крака "б" се дава чрез:

Връзка между теоремите на Евклид

Теоремите, отнасящи се до височината и краката, са свързани помежду си, защото мярката и на двете е направена по отношение на хипотенузата на правилния триъгълник..

Чрез съотношението на теоремите на Евклид може да се намери и стойността на височината; това е възможно чрез изчистване на стойностите на m и n от теоремата за крака и те се заменят в теоремата за височината. По този начин височината е равна на умножението на краката, разделено на хипотенузата:

б² = c _* m

m = b² C

за² = c _* п

n = a² C

В теоремата за височината m и n се заменят:

з_в² = m _* п

з_в² = б² В) _* (а² В)

з_в = б²_* за²) ÷ c

Решени упражнения

Пример 1

Като се има предвид триъгълник ABC, правоъгълник в A, определят мярката на AC и AD, ако AB = 30 cm и BD = 18 cm

разтвор

В този случай имаме измервания на един от изпъкналите крака (BD) и на един от краката на първоначалния триъгълник (AB). По този начин можете да приложите теоремата за крака, за да намерите стойността на крака на КП.

AB² = BD _* пр.н.е.

(30)² = 18 _* пр.н.е.

900 = 18 _* пр.н.е.

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

Стойността на CD cathetus може да се намери, знаейки, че BC = 50:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Сега е възможно да се определи стойността на катетуса AC, като се приложи отново теоремата за крака:

променлив ток² = CD _* BD

променлив ток² = 32 _* 50

променлив ток² = 160

AC = √1600 = 40 cm

За да се определи стойността на височината (AD), се прилага теоремата за височината, тъй като стойностите на проектираните крака CD и BD са известни:

АД² = 32 _* 18

АД² = 576

AD = 76576

AD = 24 cm

Пример 2

Определете стойността на височината (h) на триъгълник MNL, правоъгълник в N, като знаете измерванията на сегментите:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

РМ = 2 cm

разтвор

Имате измерване на един от краката, проектирани върху хипотенузата (PM), както и измерванията на краката на първоначалния триъгълник. По този начин може да се приложи теоремата за краката, за да се намери стойността на другия прожектиран крак (LN):

NL² = PM _* LM

(10)² = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Както вече знаем стойността на краката и хипотенузата, чрез съотношението на теоремите за височината и краката, може да се определи стойността на височината:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b²_* за²) ÷ c.

h = (10²_* 5²)  ÷ (20)

h = (100 _* 25) ÷ (20)

h = 2500 ÷ 20

h = 125 cm.

препратки

1. Braun, E. (2011). Хаос, фрактали и странни неща. Фонд за икономическа култура.
2. Cabrera, V. М. (1974). Съвременна математика, том 3.
3. Даниел Ернандес, D. P. (2014). Математика от 3-та година Каракас: Сантиляна.
4. Енциклопедия Британика, т.е. (1995). Испанска енциклопедия: Макропедия. Енциклопедия Издателства на Британика.
5. Euclid, R.P. (1886). Евклидовите елементи на геометрията.
6. Guardeño, A.J. (2000). Наследството на математиката: от Евклид до Нютон, гениите през книгите му. Университет в Севиля.