Характеристики, свойства, формули и област на равностранен триъгълник

а равностранен триъгълник това е полигон с три страни, където всички са равни; те имат една и съща мярка. За тази характеристика е дадено името на равностранен (равни страни).

Триъгълниците са многоъгълници, считани за най-прости в геометрията, защото са оформени от три страни, три ъгъла и три върха. В случая на равностранен триъгълник, като се имат равни страни, означава, че неговите три ъгъла също ще бъдат.

индекс

• 1 Характеристики на равностранен триъгълник
  • 1.1 Равни страни
  • 1.2 Компоненти
• 2 Свойства
  • 2.1 Вътрешни ъгли
  • 2.2 Външни ъгли
  • 2.3 Сума на страните
  • 2.4 Подобни страни
  • 2.5 Сходни ъгли
  • 2.6 Бисектрисът, медианата и медиатрицата са съвпадащи
  • 2.7. Симулатора и височината са съвпадащи
  • 2.8 Ортоцентърът, барицентърът, стимулаторът и окръжният център съвпадат
• 3 Как да изчислим периметъра?
• 4 Как да изчислим височината?
• 5 Как да изчислим страните?
• 6 Как се изчислява площта?
• 7 Упражнения
  • 7.1 Първо упражнение
  • 7.2 Второ упражнение
  • 7.3 Трето упражнение
• 8 Препратки

Характеристики на равностранен триъгълник

Равни страни

Равностоящите триъгълници са плоски и затворени фигури, съставени от три сегмента от прави линии. Триъгълниците се класифицират по техните характеристики, по отношение на техните страни и ъгли; равностраненното е класифицирано като мярка за нейните страни като параметър, тъй като те са абсолютно еднакви, т.е..

Равностранен триъгълник е частен случай на равнобедрен триъгълник, защото две от неговите страни са еднакви. Ето защо всички равностранени триъгълници са също равнобедрени, но не всички равнобедрени триъгълници ще бъдат равни..

По този начин равностранните триъгълници имат същите свойства на равнобедрен триъгълник.

Равностоящите триъгълници могат да се класифицират и по амплитудата на вътрешните им ъгли като равностранен ъглов триъгълник, който има три страни и три вътрешни ъгъла със същата мярка. Ъглите ще бъдат остри, т.е. те ще бъдат по-малко от 90^или.

елементи

Триъгълниците по принцип имат няколко реда и точки, които го съставят. Те се използват за изчисляване на площта, страните, ъгли, средната, симетрична, перпендикулярна и височина.

• Медианата: е линия, която излиза от средата на едната страна и достига противоположния връх. Трите медиани се съгласуват в точка, наречена центроид или центроид.
• Ситекторът: е лъч, който разделя ъгъла на върховете на два ъгъла с еднакъв размер, затова е известен като оста на симетрия. Равностоящият триъгълник има три оси на симетрия.

В равностранен триъгълник, ситекторите се изтеглят от върха на ъгъла до противоположната му страна, като го прерязват в средата. Те съвпадат в точка, наречена стимул.

• Медиатрицата: е сегмент, перпендикулярен на страната на триъгълника, която произхожда в средата на това. Има три медиатрици в триъгълник и те се съгласуват в точка наречена circuncentro.
• Височината: е линията, която върви от върха към страната, която е противоположна, а също и тази линия е перпендикулярна на тази страна. Всички триъгълници имат три височини, които съвпадат в точка, наречена ортоцентър.

свойства

Основното свойство на равностраненните триъгълници е, че те винаги ще бъдат равнобедрени триъгълници, тъй като равнобедрените са образувани от две конгруентни страни, а равните - с три..

По този начин равностраненните триъгълници наследяват всички свойства на равнобедрения триъгълник:

Вътрешни ъгли

Сумата на вътрешните ъгли винаги е равна на 180^или, и тъй като всичките му ъгли са еднакви, тогава всеки от тях ще измери 60^или.

Външни ъгли

Сумата на външните ъгли винаги ще бъде равна на 360^или, следователно всеки външен ъгъл ще измерва 120^или. Това е така, защото вътрешните и външните ъгли са допълнителни, т.е. добавянето им винаги ще бъде равно на 180^или.

Сума на страните

Сумата от мерките на двете страни трябва винаги да бъде по-голяма от мярката на третата страна, т.е. a + b> c, където a, b и c са измерванията на всяка страна.

Сходни страни

Равностоящите триъгълници имат трите си страни с една и съща мярка или дължина; тоест, те са еднакви. Следователно в предходната точка имаме a = b = c.

Сходни ъгли

Равностранните триъгълници са известни също като равноъгълни триъгълници, тъй като трите им вътрешни ъгъла са еднакви. Това е така, защото всичките му страни също имат една и съща мярка.

Бисекторът, медианата и медиатрицата са съвпадащи

Символът разделя страната на триъгълника на две части. В равностраненните триъгълници тази страна ще бъде разделена на две точно равни части, т.е. триъгълникът ще бъде разделен на два еднакви правоъгълни триъгълника.

По този начин, ситекторите, извлечени от всеки ъгъл на равностранен триъгълник, съвпадат със средната и симетричната на противоположната страна на този ъгъл.

например:

Следващата фигура показва триъгълника ABC със средна точка D, която разделя една от страните му на два сегмента AD и BD.

Когато нарисувате линия от точка D към обратния връх, по дефиниция получавате медианния компактдиск, който е по отношение на върха C и AB.

Тъй като CD сегментът разделя триъгълника ABC на два триъгълника, равен на CDB и CDA, това означава, че ще имаме случай на сходство: страничен, ъглов, страничен и следователно CD също ще бъде и bisector на BCD..

Когато изчертавате CD сегмента, разделете ъгъла на върха на две равни ъгли от 30^или, ъгълът на върха А продължава да измерва 60^или и прав CD образува ъгъл от 90^или по отношение на средната точка D.

Сегментният CD формира ъгли, които имат едно и също измерване за триъгълниците ADC и BDC, т.е. те са допълнителни по такъв начин, че измерването на всеки един ще бъде:

Med. (ADB) + Med. (ADC) = 180^или

2 _* Med. (ADC) = 180^или

Med. (ADC) = 180^или . 2

Med. (ADC) = 90^или.

И така, вие имате, че CD сегментът също е и bisector на AB страна.

Ситекторите и височината са съвпадащи

Когато изтегляте бисектриса от върха на ъгъл до средата на противоположната страна, той разделя равностранен триъгълник на два конгруентни триъгълника.

По такъв начин, че се образува ъгъл от 90 °^или (Права). Това показва, че този сегмент от линии е напълно перпендикулярна на тази страна и по дефиниция тази линия ще бъде височината.

По този начин, ситекторът на всеки ъгъл на равностранен триъгълник съвпада с относителната височина на противоположната страна на този ъгъл..

Ортоцентърът, барицентърът, стимулаторът и окръжният център съвпадат

Тъй като височината, медианата, бисектрисата и бисектрисата са представени едновременно от един и същ сегмент, в равностранен триъгълник точките на срещата на тези сегменти - ортоцентъра, барицентъра, стимула и окръжността - ще бъдат в една и съща точка:

Как да изчислим периметъра?

Периметърът на полигона се изчислява по сумата на страните. Тъй като в този случай равностранен триъгълник има всичките си страни с една и съща мярка, неговият периметър се изчислява по следната формула:

P = 3 _* страна.

Как да изчислим височината?

Тъй като височината е линията, перпендикулярна на основата, тя я разделя на две равни части, като се простира до обратния връх. Така се формират два равни правоъгълни триъгълника.

Височината (h) представлява противоположната страна (а), половината от страната АС до съседната страна (б) и страната ВС представлява хипотенузата (в).

Използвайки Питагоровата теорема, можете да определите стойността на височината:

за² + б²= c²

когато:

за² = височина (h).

б² = страна b / 2.

в² = страна a.

Подмяната на тези стойности в Питагоровата теорема и изчистване на височината имаме:

з² + ( л / 2)² = л²

з² +  л²/ 4 = л²

з² = л²  -  л²/ 4

з² = (4_*л² -  л²) / 4

з² =  3_*л²/4

√з² = √ (3_*л²/4)

Ако е известен ъгълът, образуван от конгруентните страни, височината (представена от крака) може да се изчисли чрез прилагане на тригонометричните отношения.

Краката се наричат ​​противоположни или съседни в зависимост от ъгъла, който се приема като еталон.

Например, в предишната фигура катетусът h ще бъде противоположен за ъгъла С, но в съседство с ъгъла В:

По този начин височината може да се изчисли с:

Как да изчислим страните?

Има случаи, когато измерванията на страните на триъгълника не са известни, но тяхната височина и ъглите, които се образуват във върховете.

За да се определи площта в тези случаи е необходимо да се прилагат тригонометричните съотношения.

Познавайки ъгъла на един от нейните върхове, краката се идентифицират и се използва съответното тригонометрично съотношение:

По този начин, крак АВ, ще бъде противоположен за ъгъла С, но в съседство с ъгъла А. В зависимост от страната или крака, съответстваща на височината, другата страна е изчистена, за да се получи стойността на това, като се знае, че в равностранен триъгълник трите страните винаги ще имат еднакъв размер.

Как да се изчисли площта?

Площта на триъгълниците винаги се изчислява по същата формула, умножаваща базата по височина и разделяща се на две:

Площ = (b) _* h). 2

Знаейки, че височината се дава по формулата:

обучение

Първо упражнение

Страните на равностранен триъгълник ABC измерват по 20 cm всеки. Изчислете височината и площта на този полигон.

разтвор

За да се определи площта на този равностранен триъгълник е необходимо да се изчисли височината, като се знае, че когато го рисува, тя разделя триъгълника на две равни правоъгълници.

По този начин Питагоровата теорема може да се използва, за да го намери:

за² + б²= c²

когато:

а = 20/2 = 10 cm.

b = височина.

с = 20 cm.

Данните в теоремата се заменят:

10² + б² = 20²

100 cm + б² = 400 cm

б² = (400 - 100) cm

б² = 300см

b = cm300 cm

b = 17,32 cm.

Това означава, че височината на триъгълника е равна на 17.32cm. Сега е възможно да се изчисли площта на дадения триъгълник, като се замени с формулата:

Площ = (b) _* h). 2

Площ = (20 cm) _* 17,32 cm) 2

Площ = 346,40 cm² . 2

Площ = 173.20 cm².

Друг по-лесен начин за решаване на упражнението е да се заместят данните в директната формула на областта, където стойността на височината също е имплицитно:

Второ упражнение

В земя, която има форма на равностранен триъгълник, цветята ще бъдат засадени. Ако периметърът на тази земя е равен на 450 м, изчислете броя на квадратните метри, заети от цветята.

разтвор

Знаейки, че периметърът на триъгълника съответства на сумата от трите му страни и тъй като теренът има формата на равностранен триъгълник, трите страни на този триъгълник ще имат една и съща мярка или дължина:

P = страна + страна + страна = 3 _* л

3 _* л = 450 m.

l = 450 m ÷ 3

l = 150 m.

Сега е необходимо само да се изчисли височината на този триъгълник.

Височината разделя триъгълника на два еднакви правоъгълни триъгълника, където един от краката представлява височина, а другата половина на основата. По теоремата на Питагоровата височина може да се определи:

за² + б²= c²

когато:

за = 150 m 2 = 75 m.

в = 150 m.

б = височина

Данните в теоремата се заменят:

(75 м)²+ б² = (150 м)²

5,625 m + б² = 22,500 m

б² = 22,500 m - 5,625 m

б² = 16,875 m

б = 16 875 m

б = 129.90 m.

Така че областта, която ще заеме цветята, ще бъде:

Площ = b * h ÷ 2

Площ = (150 m _* 129,9 м). 2

Площ = (19,485 m²) ÷ 2

Площ = 9 742,5 m²

Трето упражнение

Равностранен триъгълник ABC е разделен от линеен сегмент, който преминава от неговата точка C до средната точка D, разположена от другата страна (AB). Този сегмент е с размери 62 метра. Изчислете площта и периметъра на този равностранен триъгълник.

разтвор

Знаейки, че равностранен триъгълник е разделен от линеен сегмент, който съответства на височината, образувайки по този начин два еднакви десни триъгълника, това от своя страна също разделя ъгъла на върха С на два ъгъла със същата мярка.^или всеки един.

Височината представлява ъгъл от 90^или по отношение на сегмента AB и ъгълът на върха А ще измерва 60^или.

След това се използва като референтен ъгъл 30^или, височината CD е установена като крак, съседен на ъгъла и BC като хипотенуза.

От тези данни може да се определи стойността на една от страните на триъгълника, като се използват тригонометричните съотношения:

Тъй като в равностранен триъгълник всички страни имат точно една и съща мярка или дължина, това означава, че всяка страна на равностранен триъгълник ABC е равна на 71,6 метра. Знаейки, че е възможно да се определи вашата област:

Площ = b * h ÷ 2

Площ = (71,6 m _* 62 m) 2

Площ = 4438,6 m² . 2

Площ = 2,219.3 m²

Периметърът се дава от сумата на трите му страни:

P = страна + страна + страна = 3 _* л

P = 3_*л

P = 3 _* 71,6 m

Р = 214.8 m.

препратки

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Технически чертеж: тетрадка за дейности.
2. Arthur Goodman, L.H. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Образование в Пиърсън.
3. Baldor, A. (1941). Алгебра. Хавана: Култура.
4. BARBOSA, J. L. (2006). Плоска евклидова геометрия. SBM. Рио де Жанейро, .
5. Коксфорд, А. (1971). Подход за трансформация на геометрията. САЩ: Братя Лаидлоу.
6. Euclid, R.P. (1886). Евклидовите елементи на геометрията.
7. Héctor Trejo, J.S. (2006). Геометрия и тригонометрия.
8. León Fernández, G. S. (2007). Интегрирана геометрия Столичен технологичен институт.
9. Sullivan, J. (2006). Алгебра и тригонометрия Образование в Пиърсън.