Мащабни триъгълни характеристики, формула и области, изчисление

а мащабен триъгълник Това е тристранен многоъгълник, където всеки има различни измервания или дължини; поради тази причина е дадено името скалирано, което на латински означава катерене.

Триъгълниците са многоъгълници, считани за най-прости в геометрията, защото са оформени от три страни, три ъгъла и три върха. В случая със скалианния триъгълник, тъй като той има всички различни страни, това означава, че трите му ъгъла също ще бъдат различни..

индекс

• 1 Характеристики на мащабните триъгълници
  • 1.1 Компоненти
• 2 Свойства
  • 2.1 Вътрешни ъгли
  • 2.2 Сума на страните
  • 2.3 Несъвместими страни
  • 2.4 Неуместни ъгли
  • 2.5 Височината, медианата, симетрията и симетрията не съвпадат
  • 2.6 Ортоцентърът, барицентърът, стимулаторът и окръжният център не съвпадат
  • 2.7 Относителни височини
• 3 Как да изчислим периметъра?
• 4 Как се изчислява площта?
• 5 Как да изчислим височината?
• 6 Как да изчислим страните?
• 7 Упражнения
  • 7.1 Първо упражнение
  • 7.2 Второ упражнение
  • 7.3 Трето упражнение
• 8 Препратки

Характеристики на мащабните триъгълници

Мащабните триъгълници са прости полигони, тъй като нито една от страните им или ъглите им нямат една и съща мярка, за разлика от равнобедрени и равностранени триъгълници.

Тъй като всичките му страни и ъгли имат различни измервания, тези триъгълници се считат за неправилни изпъкнали полигони.

Съгласно амплитудата на вътрешните ъгли скалианните триъгълници се класифицират като:

• Мащабният правоъгълен триъгълник: всичките му страни са различни. Един от неговите ъгли е прав (90. \ T^или), а останалите са остри и с различни мерки.
• Триъгълник с мащабен ъгъл: всичките му страни са различни и един от неговите ъгли е тъп (> 90^или).
• Уголемият ъгъл на триъгълника: всичките му страни са различни. Всички ъгли са остри (< 90^или), с различни мерки.

Друга характеристика на скалираните триъгълници е, че поради несъответствието на техните страни и ъгли, те нямат ос на симетрия.

елементи

Медианата: е линия, която излиза от средата на едната страна и достига противоположния връх. Трите медиани се съгласуват в точка, наречена центроид или центроид.

Ситекторът: е лъч, който разделя всеки ъгъл на два ъгъла с еднакъв размер. Бисектрисите на триъгълник съвпадат в точка, наречена стимул.

Медиатрицата: е сегмент, перпендикулярен на страната на триъгълника, която произхожда в средата на това. Има три медиатрици в триъгълник и се съгласуват в точка, наречена окръжност.

Височината: е линията, която върви от върха към страната, която е противоположна, а също и тази линия е перпендикулярна на тази страна. Всички триъгълници имат три височини, които съвпадат в точка, наречена ортоцентър.

свойства

Мащабните триъгълници са дефинирани или идентифицирани, защото имат няколко свойства, които ги представляват, произлизащи от теоремите, предложени от великите математици. Те са:

Вътрешни ъгли

Сумата на вътрешните ъгли винаги е равна на 180^или.

Сума на страните

Сумата от мерките на двете страни трябва винаги да бъде по-голяма от мярката на третата страна, a + b> c.

Несъвместими страни

Всички страни на скалираните триъгълници имат различни мерки или дължини; тоест, те са несъвместими.

Несъвместими ъгли

Тъй като всички страни на скалианния триъгълник са различни, техните ъгли също ще бъдат различни. Въпреки това, сумата на вътрешните ъгли винаги ще бъде равна на 180º, а в някои случаи един от неговите ъгли може да бъде тъп или прав, докато в други всичките ъгли ще бъдат остри.

Височината, медианата, ситекторите и ситекторите не съвпадат

Както всеки триъгълник, така и скалият има няколко сегмента от прави линии, които го съставят, като например: височина, медиана, бисектриса и bisector.

Поради особеностите на неговите страни, в този тип триъгълник нито една от тези линии няма да съвпадне в един.

Orthocenter, barycenter, incenter и circumcenter не съвпадат

Тъй като височината, медианата, бисектрисата и бисектрисата са представени от различни сегменти от прави линии, в скалианния триъгълник точките на срещата - ортоцентъра, центроцентъра, стимула и окръжността - ще бъдат намерени в различни точки (не съвпадат).

В зависимост от това дали триъгълникът е остър, правоъгълник или скалиран, ортоцентърът има различни местоположения:

а. Ако триъгълникът е остър, ортоцентърът ще бъде вътре в триъгълника.

б. Ако триъгълникът е правоъгълник, ортоцентърът ще съвпадне с върха на правната страна.

в. Ако триъгълникът е тъп, ортоцентърът ще бъде от външната страна на триъгълника.

Относителни височини

Височините са относително спрямо страните.

В случая на скалианния триъгълник тези височини ще имат различни измервания. Всеки триъгълник има три относителни височини и за изчисляването им се използва формулата на чапла.

Как да изчислим периметъра?

Периметърът на полигона се изчислява по сумата на страните.

Тъй като в този случай скалианният триъгълник има всичките си страни с различна мярка, неговият периметър ще бъде:

P = страна a + страна b + страна c.

Как да се изчисли площта?

Площта на триъгълниците винаги се изчислява по същата формула, умножаваща базата по височина и разделяща се на две:

Площ = (база _* h). 2

В някои случаи височината на скалианния триъгълник не е известна, но има формула, предложена от математика Херон, за да се изчисли площта, познаваща измерването на трите страни на триъгълника..

когато:

• a, b и c, представляват страните на триъгълника.
• sp, съответства на полупериметъра на триъгълника, т.е. половината от периметъра:

sp = (a + b + c). 2

В случай, че имате само измерване на две от страните на триъгълника и ъгъла, който се формира между тях, площта може да бъде изчислена чрез прилагане на тригонометричните съотношения. Така че трябва да:

Площ = (страна _* h). 2

Когато височината (h) е произведението на едната страна от синуса на противоположния ъгъл. Например за всяка страна площта ще бъде:

• Площ = (b) _* в _* sen A) 2
• Площ = (a _* в _* B) 2.
• Площ = (a _* б _* C). 2

Как да изчислим височината?

Тъй като всички страни на скалианния триъгълник са различни, не е възможно да се изчисли височината с Питагоровата теорема..

От формулата на Heron, която се основава на измерванията на трите страни на триъгълника, площта може да се изчисли.

Височината може да бъде изчистена от общата формула на района:

Страната се заменя с измерването на страната a, b или c.

Друг начин за изчисляване на височината, когато стойността на един от ъглите е известна, е да се прилагат тригонометричните съотношения, където височината ще представлява крак на триъгълника..

Например, когато е известен противоположният ъгъл на височината, той ще се определя от синуса:

Как да изчислим страните?

Когато имате мярката на двете страни и ъгъла, противоположен на тях, е възможно да се определи третата страна чрез прилагане на теоремата за косинусите..

Например, в триъгълник AB се нанася височината спрямо сегмента AC. По този начин триъгълникът е разделен на два прави триъгълника.

За изчисляване на c-страна (сегмент AB), питагоровата теорема се прилага за всеки триъгълник:

• За синия триъгълник трябва да:

в² = h² + m²

Като m = b - n, той се заменя:

в² = h² + б² (б - н)²

в² = h² + б² - 2bn + n².

• За розовия триъгълник трябва да:

з² = a² - п²

Той се заменя в предишното уравнение:

в² = a² - п² + б² - 2bn + n²

в² = a² + б² - 2 млрд.

Знаейки, че n = a _* cos C, се заменя в предишното уравнение и се получава стойността на страна c:

в² = a² + б² - 2b_* за _* cos C.

По Закона за Cosines, страните могат да бъдат изчислени като:

• за² = b² + в² - 2b_* в _* cos A.
• б² = a² + в² - 2-ри_* в _* cos B.
• в² = a² + б² - 2b_* за _* cos C.

Има случаи, когато измерванията на страните на триъгълника не са известни, но тяхната височина и ъглите, които се образуват във върховете. За да се определи площта в тези случаи е необходимо да се прилагат тригонометричните съотношения.

Познавайки ъгъла на един от нейните върхове, краката се идентифицират и се използва съответното тригонометрично съотношение:

Например, катетус АВ ще бъде противоположен за ъгъла С, но в съседство с ъгъла А. В зависимост от страната или катетъра, съответстваща на височината, другата страна е изчистена, за да се получи стойността на това.

обучение

Първо упражнение

Изчислете площта и височината на скалирания триъгълник ABC, като знаете, че страните му са:

а = 8 cm.

b = 12 cm.

с = 16 cm.

разтвор

Като данни са дадени измерванията на трите страни на скалианния триъгълник.

Тъй като нямате стойност за височината, можете да определите областта, като приложите формулата Heron.

Първо се изчислява полупериметъра:

sp = (a + b + c). 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) 2

sp = 36 cm 2

sp = 18 cm.

Сега стойностите във формулата на Heron се заменят:

Знаейки зоната, може да се изчисли относителната височина на страната b. От общата формула, изчиствайки го, имате:

Площ = (страна _* h). 2

46, 47 cm² = (12 cm) _* h). 2

h = (2 _* 46,47 cm²) ÷ 12 cm

h = 92.94 cm² Cm 12 cm

h = 7.75 cm.

Второ упражнение

Като се има предвид скалирания триъгълник ABC, чиито мерки са:

• Сегмент AB = 25 m.
• Сегмент BC = 15 m.

При върха B се образува ъгъл от 50 °. Изчислете относителната височина на страната c, периметъра и площта на този триъгълник.

разтвор

В този случай имате мерки от две страни. За определяне на височината е необходимо да се изчисли измерването на третата страна.

Тъй като е даден ъгълът, противоположен на дадените страни, е възможно да се приложи законът на косинусите за определяне на измерването на страната АС (b)

б² = a² + в² - 2-ри_*в _* cos B

когато:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

В = 50^или.

Данните се заменят:

б² = (15)² + (25)² - 2_*(15)_*(25) _* cos 50

б² = (225) + (625) - (750) _* 0.6427

б² = (225) + (625) - (482,025)

б² = 367,985

b = √367,985

b = 19.18 m.

Тъй като вече имате стойността на трите страни, изчислете периметъра на този триъгълник:

P = страна a + страна b + страна c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

Р = 59.18 m

Сега е възможно да се определи площта чрез прилагане на формулата Херон, но първо трябва да се изчисли полупериметъра:

sp = P. 2

sp = 59.18 m '2

sp = 29.59 m.

Измерванията на страните и полупериметъра се заменят с формулата Херон:

Накрая, познавайки областта, относителната височина на страната c може да бъде изчислена. От общата формула, изчиствайки го, трябва да:

Площ = (страна _* h). 2

143,63 m² = (25 m _* h). 2

h = (2 _* 143,63 m²) ÷ 25 m

h = 287.3 m² M 25 m

h = 11.5 m.

Трето упражнение

В скалианния триъгълник ABC страната b е с размери 40 cm, страната c е 22 cm, а във върха A е образуван ъгъл 90 °.^или. Изчислете площта на този триъгълник.

разтвор

В този случай са дадени измерванията на две страни на скалианния триъгълник ABC, както и ъгълът, който се формира във върха A.

За да се определи площта, не е необходимо да се изчислява мярката на страната а, тъй като чрез тригонометричните съотношения ъгълът се използва за намирането му.

Тъй като е известен противоположният ъгъл спрямо височината, това ще бъде определено от продукта от едната страна и синуса на ъгъла.

Заменяйки във формулата на зоната, трябва да:

• Площ = (страна _* h). 2
• h = c _* sen A

Площ = (b) _* в _* sen A) 2

Площ = (40 cm) _* 22 cm _* сен 90) 2

Площ = (40 cm) _* 22 cm _* 1) 2

Площ = 880 cm² . 2

Площ = 440 cm².

препратки

1. Álvaro Rendón, A. R. (2004). Технически чертеж: тетрадка за дейности.
2. Ángel Ruiz, H. B. (2006). Геометрии. CR технология, .
3. Ангел, А. Р. (2007). Елементарна алгебра Образование в Пиърсън,.
4. Baldor, A. (1941). Алгебра. Хавана: Култура.
5. Barbosa, J.L. (2006). Плоска евклидова геометрия. Рио де Жанейро,.
6. Coxeter, H. (1971). Основи на геометрията Мексико: Limusa-Wiley.
7. Даниел С. Александър, Г. М. (2014). Елементарна геометрия за студенти. Cengage Learning.
8. Harpe, P. d. (2000 г.). Теми в геометричната теория на групите. Университета в Чикаго Прес.